Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 1 Системы линейных уравнений и их решения 23
Если он применяется к подмножеству, то это означает, что ука-
занное подмножество "устойчиво" относительно названных опера-
ций (подробнее см. ниже, в п. 3.2).
Если он применяется к отображению, то такое отображение дол-
жно "переводить сумму в сумму" и также "сохранять" произведения
на скаляр (подробности — далее, см. п. 15.1).
1.4. Матричная запись для с.л.у. Множество решений
с.л.у. Сопоставим с.л.у. (1.2) следующие матрицы:
1) матрицу коэффициентов, размера m × n, вида (1.3);
2) матрицу-столбец (вектор), размера m × 1, правых частей
¯
b =
b
1
b
2
...
b
m
∈ R
m
; (1.8)
3) матрицу-столбец (вектор), размера n×1, составленный из неиз-
вестных
¯x =
x
1
x
2
...
x
n
∈ R
n
. (1.9)
По правилу умножения матриц (1.6), матрицу A можно умножить
на столбец ¯x, при этом получится матрица-столбец размера m × 1 :
A · ¯x =
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ ... + a
1n
x
n
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ ... + a
2n
x
n
...................................
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ ... + a
mn
x
n
,
т. е. получится столбец левых частей системы (1.2), а т. к. (1.8) —
это столбец правых частей (1.2), то с.л.у. (1.2) может быть записана
в следующем (матричном) виде:
A
m×n
· ¯x
n×1
=
¯
b
m×1
. (1.10)
Соотношение (1.10) представляет из себя матричное уравнение,
равносильное системе (скалярных) уравнений (1.2). При таком под-
ходе следует уточнить данное в п. 1.1 определение решения с.л.у.
§1        Системы линейных уравнений и их решения                 23

  Если он применяется к подмножеству, то это означает, что ука-
занное подмножество "устойчиво" относительно названных опера-
ций (подробнее см. ниже, в п. 3.2).
  Если он применяется к отображению, то такое отображение дол-
жно "переводить сумму в сумму" и также "сохранять" произведения
на скаляр (подробности — далее, см. п. 15.1).
   1.4. Матричная запись для с.л.у. Множество решений
с.л.у. Сопоставим с.л.у. (1.2) следующие матрицы:
   1) матрицу коэффициентов, размера m × n, вида (1.3);
   2) матрицу-столбец (вектор), размера m × 1, правых частей
                                   
                                b1
                               b 
                          b̄ =  2  ∈ Rm ;                      (1.8)
                                ...
                                bm

   3) матрицу-столбец (вектор), размера n×1, составленный из неиз-
вестных                        
                                x1
                              x 
                         x̄ =  2  ∈ Rn .                    (1.9)
                                ...
                                xn
  По правилу умножения матриц (1.6), матрицу A можно умножить
на столбец x̄, при этом получится матрица-столбец размера m × 1 :
                                                          
                        a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
                       a x + a22 x2 + ... + a2n xn 
             A · x̄ =  21 1                               ,
                       ...................................
                       am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn

т. е. получится столбец левых частей системы (1.2), а т. к. (1.8) —
это столбец правых частей (1.2), то с.л.у. (1.2) может быть записана
в следующем (матричном) виде:

                            A · x̄ = b̄ .                       (1.10)
                           m×n     n×1   m×1


  Соотношение (1.10) представляет из себя матричное уравнение,
равносильное системе (скалярных) уравнений (1.2). При таком под-
ходе следует уточнить данное в п. 1.1 определение решения с.л.у.

Страницы