Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 31 стр.

§2                  Законы матричной алгебры                       31

сложения действительных чисел; именно они позволяют перегруп-
пировать сумму слева, представив ее как сумму двух сумм справа
от этого знака равенства.
   Докажем теперь закон (xi), словесно выражаемый следующим
правилом: скалярные множители можно выносить как из первого,
так и из второго сомножителя в произведении матриц.
   Это правило в сочетании с двумя предыдущими дистрибутивны-
ми законами носит специальное название: свойство билинейности
для произведения матриц. Само слово "билинейность" понимается
как линейность по каждому из двух аргументов (сомножителей).
А линейность, скажем, по первому сомножителю означает (в соот-
ветствии с замечанием 1.1), что при фиксированном втором сомно-
жителе B отображение A 7→ A·B "сохраняет" суммы и произведения
на скаляр.
   Очевидно, размеры матриц во всех трех частях формулы (xi) сов-
падают и равны m × n. Ниже приводится доказательство лишь од-
ного из двух составляющих эту формулу равенств (второе равенство
доказывается совершенно аналогично):

                               n
                               X
                       (1.6)                        (1.5)
         [(λ · A) · B]ik ==          [λ · A]ij bjk ==
                               j=1
            n
            X               n                  n
                          6 X              5   X         (1.6)
          =   (λaij )bjk ==   λ(aij bjk ) == λ   aij bjk ==
            j=1                 j=1                         j=1
                       (1.5)
          = λ[A · B]ik == [λ · (A · B)]ik ,

где i = 1, ..., m; k = 1, ..., p. Внимательный читатель, по-видимому,
сам разберется в используемых законах и определениях. Поясним
только четвертое равенство в цепочке. Здесь используется дистри-
бутивный закон в R в форме правила вынесения постоянного мно-
жителя из-под знака суммы:
                           n
                           X                  n
                                              X
                                    λai = λ         ai .          (2.5)
                              i=1             i=1


  Выражение "постоянный множитель" следует понимать как од-
но и то же число, присутствующее множителем в каждом из
слагаемых суммы. Признаком "постоянства" служит отсутствие у