Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 34 стр.

34     Системы линейных уравнений и алгебра матриц                 Гл. 1

где i = 1, ..., m; k = 1, ..., p и в цепочке равенств использованы лишь
определения умножения и транспонирования матриц, а также (на
предпоследнем шаге) коммутативный закон для умножения в поле
R (мы переставили числовые множители под знаком суммы). ¤
   Замечание 2.3. Как и в случае аксиом поля, основные законы
алгебры матриц (i) — (xvii) влекут множество других, например:
λ · O = O ; 0 · A = O (где во втором равенстве "два разных нуля":
0 — число и O — матрица) и т. п.
   Замечание 2.4. Если рассматривать множество Mat(m, n, R) ма-
триц фиксированного размера, то на нем (при m 6= n) будут опре-
делены лишь две операции (сложение и умножение на скаляр). В
частности, так будет обстоять дело в случае арифметического линей-
ного пространства Rn . Cовокупность законов, действующих в этой
ситуации, сводится к законам (i) — (viii).
   Ассоциативность сложения обеспечивает корректность определе-
ния сумм более чем двух слагаемых, а вся совокупность законов
(i) — (viii) обеспечивает возможность образования так называемых
линейных комбинаций матриц (векторов), т. е. сумм нескольких мат-
риц (векторов) с числовыми коэффициентами вида
                         s
                         X                      s
                                                X
                    B=         λi · Ai ; b̄ =         λi · āi .    (2.9)
                         i=1                    i=1

  Замечание 2.5. Остановимся на вопросе о выполнимости для мат-
ричного умножения коммутативного закона. Если матрица A имеет
размеры m × n, а матрица B — размеры n × p, то определено произ-
ведение A · B, в то время как произведение B · A будет определено
лишь при дополнительном условии p = m, причем и в этом случае
размеры матриц A·B и B ·A будут, вообще говоря, различными: пер-
вая из них будет квадратной (n × n)-матрицей, а вторая — квадрат-
ной (m × m)-матрицей. И даже при дополнительном предположении
m = n, т. е. при условии, что данные матрицы являются квадратны-
ми матрицами одинакового размера, коммутативность умножения не
обязана иметь место. Попробуйте сами вычислить и сравнить два
произведения A · B и B · A для следующих (2 × 2)-матриц:
                         µ     ¶       µ     ¶
                           1 1           1 0
                    A=           , B=          .
                           0 1           1 1
   Разумеется, для (1 × 1)-матриц (которые отождествляются с дей-
ствительными числами) справедливы все аксиомы поля 1 — 9 .