Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 3 Свойства решений систем линейных уравнений 37
Предложение 3.1. 1. Сумма двух решений однородной системы
(1.10h) снова является решением этой системы.
2. При умножении решения однородной системы на любой скаляр
снова получается решение этой системы.
3. Сумма решения неоднородной системы (1.10) и решения соот-
ветствующей однородной системы (1.10h) является решением (1.10).
4. Разность двух решений системы (1.10) является решением со-
ответствующей однородной системы (1.10h).
Доказательство. 1. Пусть векторы ¯u и ¯v являются решениями
системы (1.10h), т. е. A · ¯u =
¯
0 и A · ¯v =
¯
0. Тогда
A · (¯u + ¯v)
(x)
= A · ¯u + A · ¯v =
¯
0 +
¯
0
(iii)
==
¯
0,
т. е. вектор ¯u + ¯v также является решением (1.10h).
2. Аналогично, если A · ¯u =
¯
0 и λ ∈ R, то
A · (λ · ¯u)
(xi)
= λ · (A · ¯u) = λ ·
¯
0 =
¯
0,
т. е. вектор λ · ¯u является решением (1.10h).
3. Пусть вектор ¯u является решением (1.10), а вектор ¯v — реше-
нием (1.10h), т. е. A · ¯u =
¯
b и A · ¯v =
¯
0. Тогда
A · (¯u + ¯v)
(x)
= A · ¯u + A · ¯v =
¯
b +
¯
0
(iii)
==
¯
b,
т. е. вектор ¯u + ¯v является решением (1.10).
4. Аналогично, если A · ¯u =
¯
b и A · ¯v =
¯
b, то
A · (¯u − ¯v)
(x),(xi)
=== A · ¯u + (−1) · A · ¯v =
¯
b −
¯
b =
¯
0,
т. е. вектор ¯u −
¯
v является решением (1.10h). ¤
Замечание 3.1. Из доказанного выше предложения вытекает та-
кой факт: если с.л.у. имеет два различных решения, то она имеет
бесконечно много решений.
В самом деле, если ¯x
0
и ¯x
1
— два различных решения системы
(1.10), то их разность ¯x
1
− ¯x
0
будет (см. п. 4 предложения 3.1) реше-
нием (1.10h), а значит (см. п. 2), при любом λ ∈ R вектор λ(¯x
1
− ¯x
0
)
будет решением (1.10h). Так как ¯x
1
− ¯x
0
6=
¯
0, то все такие векторы
попарно различны. Таким образом, однородная система уже имеет
§3        Свойства решений систем линейных уравнений                   37

   Предложение 3.1. 1. Сумма двух решений однородной системы
(1.10h) снова является решением этой системы.
   2. При умножении решения однородной системы на любой скаляр
снова получается решение этой системы.
   3. Сумма решения неоднородной системы (1.10) и решения соот-
ветствующей однородной системы (1.10h) является решением (1.10).
   4. Разность двух решений системы (1.10) является решением со-
ответствующей однородной системы (1.10h).
  Доказательство. 1. Пусть векторы ū и v̄ являются решениями
системы (1.10h), т. е. A · ū = 0̄ и A · v̄ = 0̄. Тогда

                             (x)                         (iii)
                A · (ū + v̄) = A · ū + A · v̄ = 0̄ + 0̄ == 0̄,

т. е. вектор ū + v̄ также является решением (1.10h).
   2. Аналогично, если A · ū = 0̄ и λ ∈ R, то

                               (xi)
                   A · (λ · ū) = λ · (A · ū) = λ · 0̄ = 0̄,

т. е. вектор λ · ū является решением (1.10h).
   3. Пусть вектор ū является решением (1.10), а вектор v̄ — реше-
нием (1.10h), т. е. A · ū = b̄ и A · v̄ = 0̄. Тогда

                             (x)                         (iii)
                A · (ū + v̄) = A · ū + A · v̄ = b̄ + 0̄ == b̄,

т. е. вектор ū + v̄ является решением (1.10).
   4. Аналогично, если A · ū = b̄ и A · v̄ = b̄, то

                        (x),(xi)
            A · (ū − v̄) === A · ū + (−1) · A · v̄ = b̄ − b̄ = 0̄,

т. е. вектор ū − v̄ является решением (1.10h). ¤
   Замечание 3.1. Из доказанного выше предложения вытекает та-
кой факт: если с.л.у. имеет два различных решения, то она имеет
бесконечно много решений.
   В самом деле, если x̄0 и x̄1 — два различных решения системы
(1.10), то их разность x̄1 − x̄0 будет (см. п. 4 предложения 3.1) реше-
нием (1.10h), а значит (см. п. 2), при любом λ ∈ R вектор λ(x̄1 − x̄0 )
будет решением (1.10h). Так как x̄1 − x̄0 6= 0̄, то все такие векторы
попарно различны. Таким образом, однородная система уже имеет

Страницы