Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 3 Свойства решений систем линейных уравнений 39
Замечание 3.3. При изучении с.л.у. нам встретятся также "сдви-
нутые подпространства", т. е. подмножества в R
n
следующего вида:
M = V + ¯x
0
,
где V — подпространство в R
n
, а ¯x
0
∈ R
n
.
(Сумма подпространства V и вектора ¯x
0
, стоящая в правой ча-
сти равенства, определяющего M, понимается как подмножество в
R
n
, состоящее из всевозможных векторов вида ¯y + ¯x
0
, где вектор ¯y
пробегает все V.)
При ¯x
0
∈ V оказывается, что V + ¯x
0
= V. (Докажите!)
А при ¯x
0
6∈ V подмножество M линейным подпространством уже
не является. (Почему?)
У математиков для "сдвинутых подпространств" имеется особый
термин — аффинные подпространства. Так называются подмноже-
ства в R
n
, содержащие вместе с любыми двумя векторами ¯x
0
и ¯x
1
произвольную их аффинную комбинацию (1 − λ)¯x
0
+ λ¯x
1
(ср. с заме-
чанием 3.1).
3.3. Подмножества решений однородных и неоднородных
с.л.у. Вернемся к с.л.у. (1.10) и (1.10h).
Предложение 3.2. 1. Подмножество L
0
решений однородной си-
стемы (1.10h) является линейным подпространством в R
n
.
2. Подмножество L решений совместной неоднородной системы
(1.10) имеет вид
L = L
0
+ ¯x
0
, (3.3)
где ¯x
0
— произвольное решение системы (1.10).
Доказательство. 1. Первое утверждение с очевидностью вытека-
ет из пп. 1, 2 предложения 3.1, которые в обозначениях настоящего
предложения могут быть переписаны в следующем виде:
( ¯u, ¯v ∈ L
0
) ⇒ ( ¯u + ¯v ∈ L
0
); (3.4)
(∀λ ∈ R) [ ( ¯u ∈ L
0
) ⇒ ( λ¯u ∈ L
0
) ]. (3.5)
2. Равенство (3.3) — это равенство множеств. Всякое равенство
множеств M
1
= M
2
равносильно одновременному выполнению двух
включений: M
1
⊆ M
2
и M
2
⊆ M
1
.
Каждое из включений можно проверять "на элементах", доказы-
вая утверждения: (x ∈ M
1
) ⇒ (x ∈ M
2
) и (x ∈ M
2
) ⇒ (x ∈ M
1
).
§3       Свойства решений систем линейных уравнений              39

  Замечание 3.3. При изучении с.л.у. нам встретятся также "сдви-
нутые подпространства", т. е. подмножества в Rn следующего вида:

                             M = V + x̄0 ,

где V — подпространство в Rn , а x̄0 ∈ Rn .
   (Сумма подпространства V и вектора x̄0 , стоящая в правой ча-
сти равенства, определяющего M, понимается как подмножество в
Rn , состоящее из всевозможных векторов вида ȳ + x̄0 , где вектор ȳ
пробегает все V.)
   При x̄0 ∈ V оказывается, что V + x̄0 = V. (Докажите!)
   А при x̄0 6∈ V подмножество M линейным подпространством уже
не является. (Почему?)
   У математиков для "сдвинутых подпространств" имеется особый
термин — аффинные подпространства. Так называются подмноже-
ства в Rn , содержащие вместе с любыми двумя векторами x̄0 и x̄1
произвольную их аффинную комбинацию (1 − λ)x̄0 + λx̄1 (ср. с заме-
чанием 3.1).
   3.3. Подмножества решений однородных и неоднородных
с.л.у. Вернемся к с.л.у. (1.10) и (1.10h).
   Предложение 3.2. 1. Подмножество L0 решений однородной си-
стемы (1.10h) является линейным подпространством в Rn .
   2. Подмножество L решений совместной неоднородной системы
(1.10) имеет вид
                           L = L0 + x̄0 ,                (3.3)
где x̄0 — произвольное решение системы (1.10).
   Доказательство. 1. Первое утверждение с очевидностью вытека-
ет из пп. 1, 2 предложения 3.1, которые в обозначениях настоящего
предложения могут быть переписаны в следующем виде:

                    ( ū, v̄ ∈ L0 ) ⇒ ( ū + v̄ ∈ L0 );         (3.4)

                (∀λ ∈ R) [ ( ū ∈ L0 ) ⇒ ( λū ∈ L0 ) ].        (3.5)
  2. Равенство (3.3) — это равенство множеств. Всякое равенство
множеств M1 = M2 равносильно одновременному выполнению двух
включений: M1 ⊆ M2 и M2 ⊆ M1 .
  Каждое из включений можно проверять "на элементах", доказы-
вая утверждения: (x ∈ M1 ) ⇒ (x ∈ M2 ) и (x ∈ M2 ) ⇒ (x ∈ M1 ).

Страницы