Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 38 стр.

38    Системы линейных уравнений и алгебра матриц           Гл. 1

бесконечно много решений. Но тогда (см. п. 3) и исходная неодно-
родная система будет иметь бесконечно много попарно различных
решений вида

                x̄0 + λ(x̄1 − x̄0 ) = (1 − λ)x̄0 + λx̄1 .

  Замечание 3.2. Сделаем (на будущее) оговорку: все сказанное в
данном замечании существенно опирается на бесконечность нашего
основного поля R. В дальнейшем студентам-компьютерщикам, ко-
торые будут изучать теорию кодирования, предстоит знакомство с
конечными полями (см. замечание 2.1). В случае конечного поля ко-
эффициентов утверждения замечания 3.1 потеряют силу, поскольку
сами арифметические линейные пространства, а следовательно, и их
подмножества будут конечными множествами.
  Далее результатам этого пункта мы придадим иную форму с по-
мощью важного понятия линейного подпространства в арифметиче-
ском линейном пространстве.
  3.2. Линейные подпространства пространства Rn . Рассмо-
трим арифметическое линейное пространство Rn .
   Определение 3.1. Непустое подмножество V ⊆ Rn называется
линейным подпространством в Rn , если V устойчиво (или, как ина-
че выражаются, замкнуто) относительно линейных операций (сло-
жения и умножения на скаляр), т. е. справедливы следующие два
свойства:
                  ( x̄, ȳ ∈ V ) ⇒ ( x + y ∈ V );           (3.1)

                (∀λ ∈ R) [ ( x̄ ∈ V ) ⇒ ( λx̄ ∈ V ) ].       (3.2)

  Из определения линейного подпространства следует, что вместе с
любым набором векторов оно должно содержать произвольную ли-
нейную комбинацию векторов, входящих в этот набор. Кроме того,
очевидно, что всякое подпространство должно содержать нулевой
вектор пространства Rn (в самом деле, взяв любой вектор ā ∈ V,
получим 0̄ = 0 · ā ∈ V ).
  Подмножество O = {0̄}, состоящее из одного нулевого вектора,
является наименьшим из подпространств пространства Rn ; само это
пространство является своим подпространством, причем наиболь-
шим из всех подпространств.