Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 40 стр.

40      Системы линейных уравнений и алгебра матриц                  Гл. 1

   Так мы и поступим при доказательстве (3.3).
   Пусть вектор x̄ принадлежит левой части (3.3), т. е. является ре-
шением (1.10). Пусть x̄0 — еще одно (произвольное) решение этой
системы. [Заметьте, что именно в этом месте доказательства исполь-
зуется непустота L, т. е. совместность системы (1.10).] Тогда, в силу
п. 4 предложения 3.1, разность x̄ − x̄0 будет решением (1.10h), т. е.
x̄ − x̄0 ∈ L0 , или x̄ = (x̄ − x̄0 ) + x̄0 ∈ L0 + x̄0 , т. е. x̄ принадлежит
правой части (3.3).
   Пусть теперь x̄ принадлежит правой части (3.3), т. е. представля-
ется в виде x̄ = ȳ + x̄0 , где ȳ — некоторый вектор, принадлежащий
подпространству L0 . Тогда, в силу п. 3 предложения 3.1, вектор x̄
принадлежит L, т. е. левой части (3.3).
   Равенство (3.3) доказано. ¤
   Замечание 3.4. Вспоминая о понятиях частных и общего решений
с.л.у. (см. замечание 1.1), мы можем трактовать подпространство L0
(или формулу, описывающую это подпространство) как общее реше-
ние однородной системы (1.10h) (о.р.о.), а сдвинутое подпростран-
ство L (или формулу, его описывающую) — как общее решение неод-
нородной системы (1.10) (о.р.н.); вектор x̄0 трактуется как некоторое
частное решение неоднородной системы (ч.р.н.).
   Получается следующая словесная формулировка: общее решение
(совместной) неоднородной с.л.у. складывается из общего решения
соответствующей однородной с.л.у. и (произвольного) частного ре-
шения неоднородной с.л.у. Краткая запись этой формулировки:

                     о. р. н. = о. р. о. + ч. р. н.                    (3.6)

   Символическая формула (3.6) выражает одно из самых знамени-
тых правил математики. Она многократно должна встретиться вам
в "продвинутых" разделах математики (например, в теории линей-
ных дифференциальных уравнений; обратите внимание на присут-
ствующее и здесь слово "линейных": именно с понятием линейно-
сти — одним из самых важных во всей математике — связано это
правило).
   Замечание 3.5. В случае определенности системы (1.10) множе-
ство ее решений состоит из единственного вектора: L = {x̄0 }. Из
формулы (3.3) немедленно следует в этом случае (см. п. 1.5), что
однородная система (1.10h) будет иметь лишь тривиальное решение,
т. е. подпространство L0 будет состоять из одного нулевого вектора.