Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 4 Понятие о методе Гаусса 41
§
§
§ 4. Равносильные системы линейных уравнений.
Элементарные преобразования.
Понятие о методе Гаусса
4.1. Равносильные с.л.у. Рассмотрим две с.л.у. (с одним и тем
же неизвестным вектором ¯x):
A
m×n
·
¯
x
n×1
=
¯
b
m×1
(4.1)
и
A
0
m
0
×n
· ¯x
n×1
=
¯
b
0
m
0
×1
. (4.2)
Пусть L и L
0
— подмножества их решений (оба они содержатся в
арифметическом линейном пространстве R
n
).
Определение 4.1. Говорят, что с.л.у. (4.2) является следствием
с.л.у. (4.1), если всякое решение (4.1) является также решением (4.2),
т. е. если L ⊆ L
0
. Две с.л.у. (4.1) и (4.2) называются равносильны-
ми (или эквивалентными), если каждая из них является следствием
другой, т. е. если эти системы имеют одинаковые множества реше-
ний: L = L
0
.
Подчеркнем, что равносильные с.л.у. могут иметь разное количе-
ство уравнений, но обязаны иметь один и тот же набор неизвестных.
Целью нашей дальнейшей работы будет изучение так называемо-
го метода Гаусса и его модификации — метода Жордана — Гаусса,
позволяющих с помощью простых преобразований над произволь-
ной с.л.у. привести эту систему к равносильной системе, которую
уже можно легко решить.
4.2. Элементарные преобразования с.л.у. Рассмотрим сле-
дующие четыре типа преобразований над с.л.у. вида (4.1).
I. Перестановка двух уравнений системы. Символически это дей-
ствие выражаться записью: i
ур
↔ k
ур
, где i, k — номера уравнений,
i 6= k.
II. Прибавление к одному из уравнений системы другого уравне-
ния, домноженного на некоторое число. Символическое выражение:
i
ур
+ k
ур
· c. При этом действии к уравнению с номером i (почлен-
но) прибавляется уравнение с номером k (где i 6= k), домноженное
(почленно) на число c, остальные же уравнения (в том числе и урав-
нение с номером k) остаются неизменными.
§4                   Понятие о методе Гаусса                      41

§ 4. Равносильные системы линейных уравнений.
            Элементарные преобразования.
               Понятие о методе Гаусса

  4.1. Равносильные с.л.у. Рассмотрим две с.л.у. (с одним и тем
же неизвестным вектором x̄):

                            A · x̄ = b̄                          (4.1)
                           m×n   n×1   m×1

и
                             0
                           A
                           0
                               · x̄ = b̄0 0 .                    (4.2)
                         m ×n    n×1   m ×1

  Пусть L и L0 — подмножества их решений (оба они содержатся в
арифметическом линейном пространстве Rn ).
   Определение 4.1. Говорят, что с.л.у. (4.2) является следствием
с.л.у. (4.1), если всякое решение (4.1) является также решением (4.2),
т. е. если L ⊆ L0 . Две с.л.у. (4.1) и (4.2) называются равносильны-
ми (или эквивалентными), если каждая из них является следствием
другой, т. е. если эти системы имеют одинаковые множества реше-
ний: L = L0 .
   Подчеркнем, что равносильные с.л.у. могут иметь разное количе-
ство уравнений, но обязаны иметь один и тот же набор неизвестных.
   Целью нашей дальнейшей работы будет изучение так называемо-
го метода Гаусса и его модификации — метода Жордана — Гаусса,
позволяющих с помощью простых преобразований над произволь-
ной с.л.у. привести эту систему к равносильной системе, которую
уже можно легко решить.
    4.2. Элементарные преобразования с.л.у. Рассмотрим сле-
дующие четыре типа преобразований над с.л.у. вида (4.1).
    I. Перестановка двух уравнений системы. Символически это дей-
ствие выражаться записью: iур ↔ k ур , где i, k — номера уравнений,
i 6= k.
    II. Прибавление к одному из уравнений системы другого уравне-
ния, домноженного на некоторое число. Символическое выражение:
iур + k ур · c. При этом действии к уравнению с номером i (почлен-
но) прибавляется уравнение с номером k (где i 6= k), домноженное
(почленно) на число c, остальные же уравнения (в том числе и урав-
нение с номером k) остаются неизменными.

Страницы