Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 4 Понятие о методе Гаусса 43
Определение 4.3. Матрица
B = (A|
¯
b) (4.3)
называется расширенной матрицей с.л.у. (4.1).
Элементарные преобразования над с.л.у. будут описываться с по-
мощью элементарных преобразований над строками расширенной
матрицы этой системы. Эти последние преобразования будут офор-
мляться в стиле, аналогичном описанному в предыдущем пункте:
преобразование типа II, например, будет выражаться записью:
i
стр
+ k
стр
· c и т. п.
Далее мы убедимся, что при практическом решении с.л.у. часто
бывает удобным переставлять неизвестные. Поэтому, чтобы "не по-
терять" истинные имена неизвестных, нам придется приписывать их
над столбцами матрицы A. Матрица (4.3) будет в этом случае вы-
глядеть следующим образом:
B
m×(n+1)
=
x
1
x
2
... x
n
a
11
a
12
... a
1n
a
21
a
22
... a
2n
... ... ... ...
a
m1
a
m2
... a
mn
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
b
1
b
2
...
b
m
. (4.4)
Подчеркнем, что имена неизвестных (в квадратиках) не являются
элементами матрицы (4.4) и служат лишь метками столбцов. Если
вы не собираетесь переставлять столбцы, то и метки вам не понадо-
бятся.
Замечание 4.1. Ясно, что однородная с.л.у. под действием эле-
ментарных преобразований снова переходит в однородную с.л.у. По-
этому для "слежения" за преобразованиями не нужна расширенная
матрица системы B: достаточно преобразовывать матрицу A.
4.4. Идея метода Жордана — Гаусса (на примере). Сейчас
мы вернемся к с.л.у. из примера 1.2, выпишем для нее расширенную
матрицу системы, подвергнем эту матрицу элементарным преобра-
зованиям и приведем ее сначала к так называемому ступенчатому
виду, а затем к виду Жордана — Гаусса. Восстановим по получен-
ной матрице с.л.у. (она, в силу предложения 4.1, будет равносильна
исходной с.л.у.) и решим вновь полученную систему.
§4                  Понятие о методе Гаусса                       43

     Определение 4.3. Матрица

                            B = (A| b̄)                          (4.3)

называется расширенной матрицей с.л.у. (4.1).
   Элементарные преобразования над с.л.у. будут описываться с по-
мощью элементарных преобразований над строками расширенной
матрицы этой системы. Эти последние преобразования будут офор-
мляться в стиле, аналогичном описанному в предыдущем пункте:
преобразование типа II, например, будет выражаться записью:
iстр + k стр · c и т. п.
   Далее мы убедимся, что при практическом решении с.л.у. часто
бывает удобным переставлять неизвестные. Поэтому, чтобы "не по-
терять" истинные имена неизвестных, нам придется приписывать их
над столбцами матрицы A. Матрица (4.3) будет в этом случае вы-
глядеть следующим образом:
                                                   ¯       
                          x1     x2    ...    xn    ¯
                                                    ¯
                        a11    a12    ...   a1n    ¯ b1    
                                                   ¯       
               B     =  a21    a22    ...   a2n    ¯ b2    .   (4.4)
             m×(n+1)                               ¯       
                          ...    ...   ...    ...   ¯ ...
                                                    ¯
                         am1    am2    ...   amn      bm

  Подчеркнем, что имена неизвестных (в квадратиках) не являются
элементами матрицы (4.4) и служат лишь метками столбцов. Если
вы не собираетесь переставлять столбцы, то и метки вам не понадо-
бятся.
   Замечание 4.1. Ясно, что однородная с.л.у. под действием эле-
ментарных преобразований снова переходит в однородную с.л.у. По-
этому для "слежения" за преобразованиями не нужна расширенная
матрица системы B: достаточно преобразовывать матрицу A.
   4.4. Идея метода Жордана — Гаусса (на примере). Сейчас
мы вернемся к с.л.у. из примера 1.2, выпишем для нее расширенную
матрицу системы, подвергнем эту матрицу элементарным преобра-
зованиям и приведем ее сначала к так называемому ступенчатому
виду, а затем к виду Жордана — Гаусса. Восстановим по получен-
ной матрице с.л.у. (она, в силу предложения 4.1, будет равносильна
исходной с.л.у.) и решим вновь полученную систему.

Страницы