Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 44 стр.

44     Системы линейных уравнений и алгебра матриц                      Гл. 1

  Пример 4.1. Решим следующую систему из трех линейных урав-
нений с четырьмя неизвестными.
           
            −2x1      + x2        − x3          − 2x4    =     0;
              6x1      − 3x2       + 2x3         + 5x4    =    −1;
           
              4x1      − 2x2       + x3          + 3x4    =    −1.
             
                  x1    x2        x3        x4 ¯¯    
           −2                                  ¯
        B=              1        −1        −2 ¯¯ 0  −−2−
                                                         стр
                                                             +1стр ·3
                                                          −−−−   −−→
           6                                         стр
                        −3        2         5 ¯¯ −1     3    +1стр ·2
             4          −2        1         3     −1
            x         x2         x3        x4 ¯¯    
               1
            −2                                 ¯
                        1         −1        −2 ¯ 0  3стр +2стр ·(−1)
        −→ 
                                               ¯     −−−−−−−−−−→
              0         0         −1        −1 ¯¯ −1
             0          0         −1        −1 −1
               x            x2        x3      x4 ¯¯    
                 1
               −2                                 ¯
                             1         −1      −2 ¯ 0 
           −→ 
                                                  ¯     −→ ...
                0            0         −1      −1 ¯¯ −1
                0            0         0       0      0

  Достигнут ступенчатый вид. "Ступеньки" начинаются с обведен-
ных в квадратики (так называемых ключевых) элементов, которые
обязаны быть ненулевыми.
  Как только получен ступенчатый вид, все неизвестные могут быть
разбиты на два класса: главные и свободные. В качестве главных вы-
бираются те неизвестные, которые соответствуют ключевым столб-
цам (тем, в которых располагаются ключевые элементы). Осталь-
ные неизвестные объявляются свободными, они могут принимать
произвольные значения.
  Запишем с.л.у., отвечающую полученной матрице:
            ½
                −2x1   +     x2    −    x3      −   2x4   =    0;
                                   −    x3      −    x4   =   −1,

   Эту систему уже можно решать "снизу вверх", выражая главные
неизвестные (в данном случае — это x1 и x3 ) через свободные неиз-
вестные (x2 и x4 ):
                         x3 = −x4 + 1;