Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

46 Системы линейных уравнений и алгебра матриц Гл. 1
формулам векторный вид:
x
1
x
2
x
3
x
4
= x
2
1/2
1
0
0
+ x
4
−1/2
0
1
1
+
−1/2
0
1
0
.
Обозначив три вектора-столбца в правой части последнего равен-
ства
¯
f
2
,
¯
f
4
и ¯x
0
, получим краткую запись ответа:
¯x = x
2
¯
f
2
+ x
4
¯
f
4
+ ¯x
0
.
При любых конкретных значениях свободных неизвестных (фигу-
рирующих в качестве скалярных множителей перед векторами
¯
f
2
и
¯
f
4
) мы получаем конкретное частное решение с.л.у. Таким образом,
эта система (как мы уже знаем из примера 1.2) является неопреде-
ленной. Из всего (бесконечного) множества L решений с.л.у. можно
выделить одно особое, которое получается, если положить равными
нулю все свободные неизвестные: x
2
= x
4
= 0. Это решение ¯x = ¯x
0
принято называть опорным (оно также уже встречалось нам в при-
мере 1.2).
Проясним теперь смысл векторов-столбцов
¯
f
2
и
¯
f
4
. Представьте
себе, что в правых частях исходной системы стоят нули, т. е. с.л.у.
является однородной. Она останется таковой и при всех элементар-
ных преобразованиях (см. замечание 4.1). Ответом для нее будет
выражение
¯x = x
2
¯
f
2
+ x
4
¯
f
4
,
которое является, таким образом, общим решением для однородной
системы, соответствующей исходной неоднородной системе. При
конкретных значениях свободных неизвестных получаются конкрет-
ные частные решения однородной системы. Среди них выделяют-
ся так называемые базисные частные решения однородной системы:
если положить x
2
= 1, а x
4
= 0, то останется ¯x =
¯
f
2
, при противопо-
ложном выборе значений свободных неизвестных получится ¯x =
¯
f
4
.
Таким образом, векторы, стоящие при свободных неизвестных в
общем решении исходной системы, являются решениями соответс-
твующей однородной системы. То, почему эти решения заслужи-
вают названия базисных, будет строго объяснено в § 10. Пока вы
можете заметить, что всякое решение однородной системы является
линейной комбинацией (см. замечание 2.4) базисных решений. Еще
46     Системы линейных уравнений и алгебра матриц              Гл. 1

формулам векторный вид:
                                         
            x1       1/2          −1/2     −1/2
           x2     1          0   0 
            = x2       + x4       +      .
            x3        0            1        1
            x4        0            1        0

   Обозначив три вектора-столбца в правой части последнего равен-
ства f¯2 , f¯4 и x̄0 , получим краткую запись ответа:

                        x̄ = x2 f¯2 + x4 f¯4 + x̄0 .

     При любых конкретных значениях свободных неизвестных (фигу-
рирующих в качестве скалярных множителей перед векторами f¯2 и
f¯4 ) мы получаем конкретное частное решение с.л.у. Таким образом,
эта система (как мы уже знаем из примера 1.2) является неопреде-
ленной. Из всего (бесконечного) множества L решений с.л.у. можно
выделить одно особое, которое получается, если положить равными
нулю все свободные неизвестные: x2 = x4 = 0. Это решение x̄ = x̄0
принято называть опорным (оно также уже встречалось нам в при-
мере 1.2).
     Проясним теперь смысл векторов-столбцов f¯2 и f¯4 . Представьте
себе, что в правых частях исходной системы стоят нули, т. е. с.л.у.
является однородной. Она останется таковой и при всех элементар-
ных преобразованиях (см. замечание 4.1). Ответом для нее будет
выражение
                          x̄ = x2 f¯2 + x4 f¯4 ,
которое является, таким образом, общим решением для однородной
системы, соответствующей исходной неоднородной системе. При
конкретных значениях свободных неизвестных получаются конкрет-
ные частные решения однородной системы. Среди них выделяют-
ся так называемые базисные частные решения однородной системы:
если положить x2 = 1, а x4 = 0, то останется x̄ = f¯2 , при противопо-
ложном выборе значений свободных неизвестных получится x̄ = f¯4 .
   Таким образом, векторы, стоящие при свободных неизвестных в
общем решении исходной системы, являются решениями соответс-
твующей однородной системы. То, почему эти решения заслужи-
вают названия базисных, будет строго объяснено в § 10. Пока вы
можете заметить, что всякое решение однородной системы является
линейной комбинацией (см. замечание 2.4) базисных решений. Еще

Страницы