Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 48 стр.

48     Системы линейных уравнений и алгебра матриц              Гл. 1

  Замечание 4.3. Говоря о выборе главных (свободных) неизвест-
ных, необходимо отметить, что такой выбор далеко не однозначен.
Так, в разобранном примере в качестве главных могли бы фигури-
ровать неизвестные x1 , x4 или x2 , x3 , но не x1 , x2 . (При изучении
следующих глав вы должны будете разобраться в причинах этого
явления, а также понять, почему, несмотря на неоднозначность в
определении ступенчатого вида для данной матрицы, "количество
ступенек" в ступенчатом виде определено однозначно; см. понятие
ранга матрицы.)
  И еще: может быть, это покажется вам непривычным, но неко-
торые неизвестные могут в системе вообще отсутствовать. Такие
неизвестные неизбежно попадают в разряд свободных: если о них
ничего не говорится ("нуль информации"), то их значения совер-
шенно произвольны.
  Например, система из одного уравнения

                              x2 − x3 = 0,

будучи рассмотрена в пространстве R4 , дает такой результат: неиз-
вестные x1 , x4 — свободны в силу невхождения в уравнение; в ка-
честве еще одной свободной неизвестной можно (по произволу) вы-
брать либо x2 , либо x3 . Если выбрано x2 , то ответ будет таким:
                       
                        x    = x1              ;
                        1
                         x2   =        x2       ;
                        x3
                             =        x2       ;
                         x4   =              x4 ,
или                                    
                         1        0        0
                        0      1      0
                x̄ = x1   + x2   + x4   .
                         0        1        0
                         0        0        1
   Замечание 4.4. (Студентам не следует обращать внимание на это
замечание: оно — для преподавателей, знакомых с различными ме-
тодиками изложения основ линейной алгебры.)
   В большинстве учебников и задачников по алгебре в качестве от-
ветов для с.л.у. приводятся выражения главных неизвестных через
свободные, что, по мнению автора данного пособия, может считаться
лишь "полуфабрикатом" для представления общего решения систе-
мы. В соответствии с определением 1.1, решения с.л.у. являются