Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 47 стр.

§4                  Понятие о методе Гаусса                     47

раз возвратившись к примеру 1.2, заметьте, что указанное там реше-
ние x̄1 получается из найденного выше общего решения при x2 = 0,
x4 = −1, т. е. x̄1 = 0 · f¯2 + (−1) · f¯4 + x̄0 .
   При решении практических примеров настоятельно рекомендует-
ся делать проверку: опорное решение следует проверять, подставляя
во все уравнения исходной системы, а каждое из базисных реше-
ний — подставляя во все уравнения соответствующей однородной
системы.

   Замечание 4.2. Проведенный анализ подтверждает на конкрет-
ном примере представление общего решения совместной неоднород-
ной с.л.у. в виде суммы общего решения соответствующей однород-
ной системы и частного решения неоднородной системы [см. правило
(3.6)]. В примере это правило дополнено новой информацией: 1) в
качестве ч.р.н. можно брать опорное частное решение неоднородной
системы; 2) о.р.о. само имеет представление в виде линейной комби-
нации базисных частных решений однородной системы (ч.р.о.). Ни-
же, в § 6, мы убедимся, что такое выражение для общего решения
получается и для произвольной совместной неоднородной системы.
   А пока задумаемся над тем, как в ходе применения алгоритма
Жордана — Гаусса мы можем обнаружить, что исходная система яв-
ляется несовместной. Представьте себе, что в системе, рассмотрен-
ной в примере 4.1, в правой части третьего уравнения, вместо числа
−1 стоит, скажем, число 5. Тогда в момент достижения ступенчато-
го вида (т. е. на втором шаге преобразований матрицы B) мы вместо
последней нулевой строки получили бы строку с четырьмя нулями
и с числом 6 в последнем столбце (это число было бы последней
ступенькой в ступенчатом виде матрицы B). Такая строка соответ-
ствовала бы противоречивому уравнению 0·x1 +0·x2 +0·x3 +0·x4 = 6,
что свидетельствовало бы о несовместности исходной с.л.у.
   И в общем случае (см. § 6) с.л.у. будет несовместной, если по-
следняя ступенька в ступенчатом виде расширенной матрицы этой
системы будет приходиться на последний столбец.
   Для совместной с.л.у. возможны две ситуации:
   1) либо число ступенек меньше числа неизвестных, и тогда в реше-
нии будут присутствовать свободные неизвестные и, следовательно,
с.л.у. будет неопределенной;
   2) либо число ступенек равно числу неизвестных, и тогда свобод-
ных неизвестных не будет, решение будет единственным, система —
определенной.