Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 4 Понятие о методе Гаусса 45
x
1
=
1
2
(x
2
− x
3
− 2x
4
) =
1
2
(x
2
− x
4
− 1)
и т. д.
В этом, собственно, и состоит идея простейшей версии метода Га-
усса: выбираются ключевые элементы и под ними "делаются ну-
ли"; полученная ступенчатая система решается относительно глав-
ных неизвестных.
Но мы продолжим вычисления: исключим нулевую строку, полу-
чим нули не только под, но и над ключевыми элементами и сделаем
ключевые элементы единичными (что будет характерно для так на-
зываемого метода Жордана — Гаусса). Кроме того, мы модифици-
руем метод, производя группировку главных неизвестных в начале
списка, после чего в начале матрицы должна сформироваться еди-
ничная подматрица E. (Именно здесь нам необходимы метки над
столбцами, соответствующие именам неизвестных.)
...
1
стр
+2
стр
·(−1)
−−−−−−−−−−−−−−→
1
стр
·(−1/2); 2
стр
·(−1)
x
1
x
2
x
3
x
4
1 −1/2 0 1/2
0 0 1 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−1/2
1
−→
−→
x
1
x
3
x
2
x
4
1 0 −1/2 1/2
0 1 0 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−1/2
1
.
Запишем теперь с.л.у. по последней полученной матрице:
½
x
1
− 1/2 x
2
+ 1/2 x
4
= −1/2 ;
x
3
+ x
4
= 1 .
Выразим из этой системы главные неизвестные через свободные.
Кроме того, поскольку (по определению 1.1) решение с.л.у. представ-
ляет собой вектор-столбец, включающий выражения для всех неиз-
вестных, учтем в записи решения свободные неизвестные, включая
в ответ "тавтологические" равенства x
2
= x
2
; x
4
= x
4
.
x
1
= 1/2 x
2
−1/2 x
4
− 1/2 ;
x
2
= x
2
;
x
3
= x
4
+ 1 ;
x
4
= x
4
.
Полученные формулы представляют собой не что иное, как об-
щее решение исходной с.л.у. (см. замечание 1.1). Придадим этим
§4                         Понятие о методе Гаусса                        45

                          1                   1
                  x1 =      (x2 − x3 − 2x4 ) = (x2 − x4 − 1)
                          2                   2
и т. д.
   В этом, собственно, и состоит идея простейшей версии метода Га-
усса: выбираются ключевые элементы и под ними "делаются ну-
ли"; полученная ступенчатая система решается относительно глав-
ных неизвестных.
   Но мы продолжим вычисления: исключим нулевую строку, полу-
чим нули не только под, но и над ключевыми элементами и сделаем
ключевые элементы единичными (что будет характерно для так на-
зываемого метода Жордана — Гаусса). Кроме того, мы модифици-
руем метод, производя группировку главных неизвестных в начале
списка, после чего в начале матрицы должна сформироваться еди-
ничная подматрица E. (Именно здесь нам необходимы метки над
столбцами, соответствующие именам неизвестных.)
                                                           ¯      
                                    x1    x2     x3    x4 ¯
            1стр +2стр ·(−1)                                ¯
      ...−− −−−−−−−−−−−−→  1            −1/2     0    1/2 ¯¯ −1/2  −→
          1стр ·(−1/2); 2стр ·(−1)                          ¯ 1
                                   0      0       1     1
                                                    ¯      
                           x1       x3    x2    x4 ¯
                                                     ¯
                  −→  1            0    −1/2   1/2 ¯¯ −1/2  .
                                                     ¯ 1
                       0            1     0      1
     Запишем теперь с.л.у. по последней полученной матрице:
           ½
             x1      − 1/2 x2 + 1/2 x4 = −1/2 ;
                 x3                +        x4 =      1 .
   Выразим из этой системы главные неизвестные через свободные.
Кроме того, поскольку (по определению 1.1) решение с.л.у. представ-
ляет собой вектор-столбец, включающий выражения для всех неиз-
вестных, учтем в записи решения свободные неизвестные, включая
в ответ "тавтологические" равенства x2 = x2 ; x4 = x4 .
             
              x = 1/2 x2 −1/2 x4 − 1/2 ;
              1
               x2 =          x2                      ;
              x3 =
                                      x4 +       1 ;
               x4 =                    x4            .
  Полученные формулы представляют собой не что иное, как об-
щее решение исходной с.л.у. (см. замечание 1.1). Придадим этим

Страницы