Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 42 стр.

42     Системы линейных уравнений и алгебра матриц             Гл. 1

  III. Почленное домножение одного из уравнений системы на нену-
левое число. Символически: iур · c, где c ∈ R, c 6= 0.
  IV. Удаление из системы (включение в систему) тривиального
уравнения, все коэффициенты которого, а также его правая часть
равны нулю.
   Определение 4.2. Описанные выше преобразования называют-
ся элементарными преобразованиями типов I — IV над с.л.у.
  Предложение 4.1. Под действием элементарных преобразова-
ний с.л.у. переходит в равносильную с.л.у.
   Доказательство. Характерной особенностью преобразований I —
IV типов является их обратимость. В самом деле, преобразование
типа I является "самообратным", т. е. его повторное применение воз-
вращает систему к исходному виду. Обратимость преобразования
типа IV заложена в самом его определении. Преобразованием, об-
ратным к преобразованию типа II, является преобразование (такого
же типа) iур + k ур · (−c). Аналогично, обратным к III будет преобра-
зование типа III: iур · c−1 .
   Далее заметим, что всякий арифметический вектор x̄, являющий-
ся решением исходной системы, останется решением и для преобра-
зованной системы. В самом деле, вектор x̄ обращает все уравнения
системы в истинные равенства, а преобразования типов I — III, бу-
дучи произведены над истинными равенствами, снова приводят, оче-
видно, к истинным равенствам. Что касается преобразования типа
IV, то оно удаляет из системы (добавляет к системе) "уравнение" ви-
да 0·x1 +· · ·+0·xn = 0, которое является "абсолютным тождеством"
(т. е. справедливо для любых значений неизвестных) и поэтому "со-
держит нуль информации": его исключение (добавление) никак не
отражается на множестве решений с.л.у.
   Теперь можно утверждать, что преобразованная с помощью эле-
ментарных преобразований с.л.у. является следствием исходной сис-
темы. Отмеченная выше обратимость этих преобразований позволя-
ет заключить, что верно и обратное: исходная с.л.у. будет следствием
преобразованной. А значит, эти с.л.у. будут равносильны. ¤
  4.3. Расширенная матрица с.л.у. Матричное выражение
элементарных преобразований над с.л.у. Производить элемен-
тарные преобразования над с.л.у. (4.2) удобнее используя вспомога-
тельную матрицу B размера m × (n + 1), получающуюся слиянием
матрицы коэффициентов (1.3) и столбца правых частей (1.8).