Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 381 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 40 Кратность корня. Разложение на линейные множители 381
Замечание 40.5. Суммы (40.13) являются многочленами от n пе-
ременных c
1
, c
2
, ..., c
n
. Эти многочлены обладают свойством симмет-
рии: при любой перестановке элементов списка (40.11) значение каж-
дого из них остается неизменным. Для σ
k
используется название
элементарные симметрические многочлены.
(Строгое определение многочленов от нескольких переменных да-
ется ниже, в § 48; симметрические многочлены, в том числе элемен-
тарные, изучаются в § 49.)
Теорема 40.1 (теорема Виета). Пусть многочлен f(x) ∈ P [x] по-
ложительной степени n разлагается над полем P на линейные мно-
жители и пусть (40.11) есть список корней этого многочлена. Ко-
эффициенты многочлена f(x) связаны со значениями сумм (40.13)
формулами
a
k
a
0
= (−1)
k
σ
k
, (40.15)
где k = 1, ..., n.
Доказательство. Обе части формулы (40.12) поделим на a
0
и в
правой части полученной формулы раскроем скобки. При этом по-
лучится 2
n
слагаемых, каждое из которых будет произведением n
сомножителей, причем некоторые из этих сомножителей будут рав-
няться x, а остальные будут иметь вид (−c
j
).
Приведем подобные в полученной сумме, т. е. сгруппируем ее по
степеням x.
Один из членов будет равен x
n
(из всех n скобок берется x).
Количество членов, содержащих x
n−k
(k = 1, ..., n), будет рав-
няться C
n−k
n
(= C
k
n
) — столькими способами из n скобок можно вы-
брать те n − k скобок, из которых берется x. Все эти члены будут
иметь общий знак (−1)
k
, поскольку из оставшихся k скобок берутся
члены вида (−c
j
). Если вынести из этих членов за скобку (−1)
k
x
n−k
,
то в скобке останется не что иное, как сумма σ
k
[см. (40.14)].
Таким образом, коэффициентом при x
n−k
в правой части будет
(−1)
k
σ
k
; в левой части (после деления на старший коэффициент)
коэффициент при x
n−k
будет равняться a
k
/a
0
.
Приравнивая коэффициенты при степенях x, начиная с (n − 1)-й
и заканчивая нулевой, получим формулы Виета (40.15). ¤
Замечание 40.6. Вы, конечно, знаете формулы Виета для квад-
ратного трехчлена. Для многочлена третьей степени
f(x) = a
0
x
3
+ a
1
x
2
+ a
2
x + a
3
§ 40 Кратность корня. Разложение на линейные множители 381

   Замечание 40.5. Суммы (40.13) являются многочленами от n пе-
ременных c1 , c2 , ..., cn . Эти многочлены обладают свойством симмет-
рии: при любой перестановке элементов списка (40.11) значение каж-
дого из них остается неизменным. Для σk используется название
элементарные симметрические многочлены.
   (Строгое определение многочленов от нескольких переменных да-
ется ниже, в § 48; симметрические многочлены, в том числе элемен-
тарные, изучаются в § 49.)
  Теорема 40.1 (теорема Виета). Пусть многочлен f (x) ∈ P [x] по-
ложительной степени n разлагается над полем P на линейные мно-
жители и пусть (40.11) есть список корней этого многочлена. Ко-
эффициенты многочлена f (x) связаны со значениями сумм (40.13)
формулами
                          ak
                             = (−1)k σk ,                (40.15)
                          a0
где k = 1, ..., n.
   Доказательство. Обе части формулы (40.12) поделим на a0 и в
правой части полученной формулы раскроем скобки. При этом по-
лучится 2n слагаемых, каждое из которых будет произведением n
сомножителей, причем некоторые из этих сомножителей будут рав-
няться x, а остальные будут иметь вид (−cj ).
   Приведем подобные в полученной сумме, т. е. сгруппируем ее по
степеням x.
   Один из членов будет равен xn (из всех n скобок берется x).
   Количество членов, содержащих xn−k (k = 1, ..., n), будет рав-
няться Cnn−k (= Cnk ) — столькими способами из n скобок можно вы-
брать те n − k скобок, из которых берется x. Все эти члены будут
иметь общий знак (−1)k , поскольку из оставшихся k скобок берутся
члены вида (−cj ). Если вынести из этих членов за скобку (−1)k xn−k ,
то в скобке останется не что иное, как сумма σk [см. (40.14)].
   Таким образом, коэффициентом при xn−k в правой части будет
(−1)k σk ; в левой части (после деления на старший коэффициент)
коэффициент при xn−k будет равняться ak /a0 .
   Приравнивая коэффициенты при степенях x, начиная с (n − 1)-й
и заканчивая нулевой, получим формулы Виета (40.15). ¤
  Замечание 40.6. Вы, конечно, знаете формулы Виета для квад-
ратного трехчлена. Для многочлена третьей степени

                     f (x) = a0 x3 + a1 x2 + a2 x + a3

Страницы