Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 382 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

382 Алгебра многочленов Гл. 6
эти формулы будут выглядеть следующим образом:
a
1
a
0
= −(c
1
+ c
2
+ c
3
) ;
a
2
a
0
= c
1
c
2
+ c
1
c
3
+ c
2
c
3
;
a
3
a
0
= −c
1
c
2
c
3
.
В качестве упражнения попробуйте выписать формулы Виета для
многочлена четвертой степени.
Замечание 40.7. Формулы Виета позволяют однозначно (с точно-
стью до пропорциональности) восстановить многочлен по его корням
(в случае, когда их количество равно степени многочлена). Нор-
мализованный многочлен восстанавливается однозначно: a
0
= 1;
a
k
= (−1)
k
σ
k
(k = 1, ..., n).
В задачниках по алгебре есть задачи типа: "Найти многочлен наи-
меньшей степени, имеющий своими корнями числа 1, 2 (кратности
не ниже 2), 3, −1 (кратности не ниже 3).
Ответ (нормализованный) дается следующей формулой:
f(x) = (x − 1)(x − 2)
2
(x − 3)(x + 1)
3
.
Надо только раскрыть скобки и привести подобные.
Но можно решать эту задачу "по Виету": составить список корней
[1, 2, 2, 3, −1, −1, −1];
вычислить суммы σ
j
и найти коэффициенты a
j
:
a
1
= −(1 + 2 + 2 + 3 + (−1) + (−1) + (−1)) = −5
и т. д.; суммы для k = 2, ..., 6 будут получаться довольно громоздки-
ми.
Может помочь Maple (для него первый способ решения реализо-
вать проще).
> expand( (x-1) ∗ (x-2) ˆ 2 ∗ (x-3) ∗ (x+1) ˆ 3 );
x
7
− 5x
6
+ 2x
5
+ 18x
4
− 11x
3
− 25x
2
+ 8x + 12
382                   Алгебра многочленов                      Гл. 6

эти формулы будут выглядеть следующим образом:
                  a1
                 
                      =    −(c1 + c2 + c3 ) ;
                 
                 aa0
                    2
                       = c1 c2 + c1 c3 + c2 c3 ;
                 
                  a0
                 
                  a3 =         −c1 c2 c3 .
                   a0
  В качестве упражнения попробуйте выписать формулы Виета для
многочлена четвертой степени.
   Замечание 40.7. Формулы Виета позволяют однозначно (с точно-
стью до пропорциональности) восстановить многочлен по его корням
(в случае, когда их количество равно степени многочлена). Нор-
мализованный многочлен восстанавливается однозначно: a0 = 1;
ak = (−1)k σk (k = 1, ..., n).
   В задачниках по алгебре есть задачи типа: "Найти многочлен наи-
меньшей степени, имеющий своими корнями числа 1, 2 (кратности
не ниже 2), 3, −1 (кратности не ниже 3).
   Ответ (нормализованный) дается следующей формулой:

                f (x) = (x − 1)(x − 2)2 (x − 3)(x + 1)3 .

  Надо только раскрыть скобки и привести подобные.
  Но можно решать эту задачу "по Виету": составить список корней

                         [1, 2, 2, 3, −1, −1, −1];

вычислить суммы σj и найти коэффициенты aj :

          a1 = −(1 + 2 + 2 + 3 + (−1) + (−1) + (−1)) = −5

и т. д.; суммы для k = 2, ..., 6 будут получаться довольно громоздки-
ми.
   Может помочь Maple (для него первый способ решения реализо-
вать проще).
  > expand( (x-1) ∗ (x-2) ˆ 2 ∗ (x-3) ∗ (x+1) ˆ 3 );

           x7 − 5x6 + 2x5 + 18x4 − 11x3 − 25x2 + 8x + 12

Страницы