Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 380 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

380 Алгебра многочленов Гл. 6
40.6. Теорема Виета. Рассмотрим многочлен f(x) вида (36.18),
степени n > 0, с коэффициентами из некоторого поля P, разложи-
мый над этим полем на линейные множители по формуле типа
(40.10). (В случае алгебраической замкнутости поля P указанным
свойством, в силу предложения 40.2, будет обладать любой много-
член положительной степени.)
Многочлен, разложимый на линейные множители, будет иметь
ровно n корней (с учетом их кратностей). Сформируем n-элемент-
ный список корней
c
1
, c
2
, ..., c
n
, (40.11)
в котором каждый корень повторяется столько раз, какова его кра-
тность.
Разложение (40.10) также представим в "несгруппированном" ви-
де:
a
0
x
n
+a
1
x
n−1
+... +a
n−1
x +a
n
= a
0
(x −c
1
)(x −c
2
)...(x −c
n
). (40.12)
Введем далее в рассмотрение следующие суммы:
— сумму σ
1
всех n элементов списка (40.11);
— сумму σ
2
всех возможных произведений, в которых берутся по
два (различных) сомножителя из (40.11); количество таких произве-
дений будет равняться C
2
n
;
— и так далее;
— сумму σ
n−1
всех C
n−1
n
= n возможных произведений по n − 1
(различных) сомножителей из списка (40.11);
— единственное возможное произведение σ
n
всех элементов этого
списка.
В формульной записи определенные выше суммы выглядят так:
σ
1
= c
1
+ c
2
+ ... + c
n
;
σ
2
= c
1
c
2
+ c
1
c
3
+ ... + c
1
c
n
+ c
2
c
3
+ ... + c
n−1
c
n
;
..................................................................
σ
n−1
= c
1
c
2
...c
n−1
+ c
1
c
2
...c
n−2
c
n
+ ... + c
2
c
3
...c
n
;
σ
n
= c
1
c
2
...c
n
.
(40.13)
Общим видом сумм σ
k
(k = 1, ..., n) является
σ
k
=
X
16j
1
<j
2
<...<j
k
6n
c
j
1
c
j
2
...c
j
k
, (40.14)
где количество слагаемых равно числу сочетаний C
k
n
.
380                      Алгебра многочленов                              Гл. 6

   40.6. Теорема Виета. Рассмотрим многочлен f (x) вида (36.18),
степени n > 0, с коэффициентами из некоторого поля P, разложи-
мый над этим полем на линейные множители по формуле типа
(40.10). (В случае алгебраической замкнутости поля P указанным
свойством, в силу предложения 40.2, будет обладать любой много-
член положительной степени.)
   Многочлен, разложимый на линейные множители, будет иметь
ровно n корней (с учетом их кратностей). Сформируем n-элемент-
ный список корней
                           c1 , c2 , ..., cn ,           (40.11)
в котором каждый корень повторяется столько раз, какова его кра-
тность.
   Разложение (40.10) также представим в "несгруппированном" ви-
де:

 a0 xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an = a0 (x − c1 )(x − c2 )...(x − cn ). (40.12)

   Введем далее в рассмотрение следующие суммы:
   — сумму σ1 всех n элементов списка (40.11);
   — сумму σ2 всех возможных произведений, в которых берутся по
два (различных) сомножителя из (40.11); количество таких произве-
дений будет равняться Cn2 ;
   — и так далее;
   — сумму σn−1 всех Cnn−1 = n возможных произведений по n − 1
(различных) сомножителей из списка (40.11);
   — единственное возможное произведение σn всех элементов этого
списка.
   В формульной записи определенные выше суммы выглядят так:
   
     σ1     =                     c1 + c2 + ... + cn ;
   
   
    σ2      = c1 c2 + c1 c3 + ... + c1 cn + c2 c3 + ... + cn−1 cn ;
     .................................................................. (40.13)
   
   
    σn−1 = c1 c2 ...cn−1 + c1 c2 ...cn−2 cn + ... + c2 c3 ...cn ;
   
      σn     =                          c1 c2 ...cn .

   Общим видом сумм σk (k = 1, ..., n) является
                           X
                σk =                   cj1 cj2 ...cjk ,                  (40.14)
                            16j1

Страницы