Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 384 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

384 Алгебра многочленов Гл. 6
(x
n
) : a
0
= b
0
;
(x
n−1
) : a
1
= b
1
− cb
0
;
(x
n−2
) : a
2
= b
2
− cb
1
;
.......... .............................................
(x
2
) : a
n−2
= b
n−2
− cb
n−3
;
(x
1
) : a
n−1
= b
n−1
− cb
n−2
;
(x
0
) : a
n
= f(c) − cb
n−1
.
(41.3)
Систему (41.3) легко разрешить относительно неопределенных ко-
эффициентов b
k
(k = 0, ..., n − 1) и искомого значения f(c):
b
0
= a
0
;
b
1
= a
1
+ cb
0
;
b
2
= a
2
+ cb
1
;
.......................................
b
n−2
= a
n−2
+ cb
n−3
;
b
n−1
= a
n−1
+ cb
n−2
;
f(c) = a
n
+ cb
n−1
.
(41.4)
Соотношения (41.4) относятся к типу рекуррентных, характерных
тем, что при отыскании очередного (по номеру) значения использу-
ются ранее найденные значения с меньшими номерами (см. § 30a). В
данном случае сразу определяется b
0
; при отыскании b
k
использует-
ся ранее найденное значение b
k−1
(k = 1, ..., n − 1); при вычислении
f(c) — значение b
n−1
.
Удобно поместить данные и результаты вычислений по форму-
лам (41.4) в таблицу, которая и называется схемой Горнера (см.
табл. 41.1а в прил. 2).
Замечание 41.1. Заметим, что схема Горнера дает не только зна-
чение многочлена f(c), являющееся остатком от деления данного
многочлена на x − c, но и неполное частное (41.1).
Кроме того, получив нулевой остаток, мы можем констатировать,
что элемент c является корнем многочлена f(x).
Пример 41.1. Дан многочлен
f(x) = 2x
4
− (1 − 2i)x
3
− (2 + 3i)x − 4
384                     Алгебра многочленов                                 Гл. 6

                n
                (x )           : a0        = b0                        ;
               
               
               
               
               
                (xn−1 ) : a1               = b1          − cb0         ;
               
               
               
                (xn−2 ) : a2               = b2          − cb1         ;
               
               
                 .......... .............................................   (41.3)
               
               
               
                (x2 )          : an−2 = bn−2 − cbn−3 ;
               
               
               
               
               
               
                (x1 )          : an−1 = bn−1 − cbn−2 ;
               
                0
                 (x )           : an        = f (c) − cbn−1 .
  Систему (41.3) легко разрешить относительно неопределенных ко-
эффициентов bk (k = 0, ..., n − 1) и искомого значения f (c):
                    
                    
                      b0       = a0                        ;
                    
                    
                    
                      b1       = a1          + cb0         ;
                    
                    
                    
                    
                     b2
                               = a2          + cb1         ;
                      ....................................... (41.4)
                    
                    
                    
                      bn−2 = an−2 + cbn−3 ;
                    
                    
                    
                      bn−1 = an−1 + cbn−2 ;
                    
                    
                    
                     f (c) = a
                                         n    + cb      n−1 .
   Соотношения (41.4) относятся к типу рекуррентных, характерных
тем, что при отыскании очередного (по номеру) значения использу-
ются ранее найденные значения с меньшими номерами (см. § 30a). В
данном случае сразу определяется b0 ; при отыскании bk использует-
ся ранее найденное значение bk−1 (k = 1, ..., n − 1); при вычислении
f (c) — значение bn−1 .
   Удобно поместить данные и результаты вычислений по форму-
лам (41.4) в таблицу, которая и называется схемой Горнера (см.
табл. 41.1а в прил. 2).
  Замечание 41.1. Заметим, что схема Горнера дает не только зна-
чение многочлена f (c), являющееся остатком от деления данного
многочлена на x − c, но и неполное частное (41.1).
  Кроме того, получив нулевой остаток, мы можем констатировать,
что элемент c является корнем многочлена f (x).
  Пример 41.1. Дан многочлен

               f (x) = 2x4 − (1 − 2i)x3 − (2 + 3i)x − 4

Страницы