Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 385 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 41 Схема Горнера 385
над полем C. Требуется поделить с остатком f(x) на двучлен x − c,
где c = 1 + i; в частности вычислить значение f(c).
Р е ш е н и е см. в табл. 41.1б.
О т в е т:
f(x) =
= ( 2x
3
+ (1 + 4i)x
2
+ (−3 + 5i)x −(10 + i) )( x −(1 + i) ) + (−13 −11i);
f(1 + i) = −13 − 11i.
41.2. Разложение многочлена по степеням x −c (формула
Тейлора). Выполним деление с остатком многочлена f(x) степени
n > 0 на двучлен x − c [см. (41.2)]; результат, имея в виду предсто-
ящее повторение (итерирование) процесса, представим следующим
образом:
f(x) = q
0
(x)(x − c) + h
0
; deg(q
0
(x)) = n − 1; h
0
= f(c), (41.5)
где неполное частное q
0
(x) является многочленом степени n − 1.
Если n − 1 > 0, то поделим с остатком на x − c многочлен q
0
(x):
q
0
(x) = q
1
(x)(x − c) + h
1
; deg(q
1
(x)) = n − 2; h
1
= q
0
(c). (41.6)
Подставим (41.6) в (41.5) и сгруппируем члены по степеням x −c:
f(x) = q
1
(x)(x − c)
2
+ h
1
(x − c) + h
0
. (41.7)
Если n − 2 > 0, то поделим с остатком на x − c многочлен q
1
(x);
результат подставим в (41.7) и т. д.
На шаге с номером n − 1 неполное частное q
n−2
(x) будет много-
членом первой степени и получится разложение
f(x) = q
n−2
(x)(x−c)
n−1
+h
n−2
(x−c)
n−2
+...+h
2
(x−c)
2
+h
1
(x−c)+h
0
.
На следующем шаге, с номером n, неполное частное станет скаля-
ром, который мы обозначим h
n
, и получится, уже в окончательном
виде, формула
f(x) = h
n
(x − c)
n
+ h
n−1
(x − c)
n−1
+
+ h
n−2
(x − c)
n−2
+ ... + h
2
(x − c)
2
+ h
1
(x − c) + h
0
, (41.8)
§ 41                            Схема Горнера                             385

над полем C. Требуется поделить с остатком f (x) на двучлен x − c,
где c = 1 + i; в частности вычислить значение f (c).
   Р е ш е н и е см. в табл. 41.1б.
   О т в е т:

  f (x) =
= ( 2x3 + (1 + 4i)x2 + (−3 + 5i)x − (10 + i) )( x − (1 + i) ) + (−13 − 11i);
                                                       f (1 + i) = −13 − 11i.


  41.2. Разложение многочлена по степеням x − c (формула
Тейлора). Выполним деление с остатком многочлена f (x) степени
n > 0 на двучлен x − c [см. (41.2)]; результат, имея в виду предсто-
ящее повторение (итерирование) процесса, представим следующим
образом:

       f (x) = q0 (x)(x − c) + h0 ; deg(q0 (x)) = n − 1; h0 = f (c),     (41.5)

где неполное частное q0 (x) является многочленом степени n − 1.
   Если n − 1 > 0, то поделим с остатком на x − c многочлен q0 (x):

       q0 (x) = q1 (x)(x − c) + h1 ; deg(q1 (x)) = n − 2; h1 = q0 (c).   (41.6)

   Подставим (41.6) в (41.5) и сгруппируем члены по степеням x − c:

                     f (x) = q1 (x)(x − c)2 + h1 (x − c) + h0 .          (41.7)

  Если n − 2 > 0, то поделим с остатком на x − c многочлен q1 (x);
результат подставим в (41.7) и т. д.
  На шаге с номером n − 1 неполное частное qn−2 (x) будет много-
членом первой степени и получится разложение

f (x) = qn−2 (x)(x−c)n−1 +hn−2 (x−c)n−2 +...+h2 (x−c)2 +h1 (x−c)+h0 .

  На следующем шаге, с номером n, неполное частное станет скаля-
ром, который мы обозначим hn , и получится, уже в окончательном
виде, формула

  f (x) = hn (x − c)n + hn−1 (x − c)n−1 +
             + hn−2 (x − c)n−2 + ... + h2 (x − c)2 + h1 (x − c) + h0 ,   (41.8)

Страницы