Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 387 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 41 Схема Горнера 387
Искомые коэффициенты
h
0
, h
1
, h
2
, ..., h
n−2
, h
n−1
, h
n
(остатки) будут последними элементами в строках таблицы, начиная
со второй.
Пример 41.2. Дан многочлен
f(x) = 8x
6
− 44x
5
+ 50x
4
+ 55x
3
− 55x
2
− 56x − 12
над полем Q. Требуется переразложить его по степеням x − 2.
Р е ш е н и е см. в табл. 41.2б (прил. 2).
О т в е т:
f(x) = −125(x −2)
2
−25(x −2)
3
+ 90(x −2)
4
+ 52(x −2)
5
+ 8(x −2)
6
.
41.3. Определение кратности корня многочлена с помо-
щью схемы Горнера. Посмотрите еще раз на ответ примера 41.2
и на диагональ в табл. 41.2б, содержащую коэффициенты формулы
Тейлора.
Из ответа ясно, что c = 2 является корнем многочлена f(x), при-
чем этот многочлен, очевидно, делится на (x −2)
2
и в частном полу-
чается многочлен, который уже не делится на x − 2. Значит, крат-
ность c = 2 как корня f(x) равна 2.
Из таблицы усматривается следующее правило, справедливое в
общем случае.
П р а в и л о: Кратность корня c многочлена f(x) равна m тогда и
только тогда, когда в табл. 41.2а, на диагонали, содержащей остатки,
имеется в начале m нулей подряд: h
0
= h
1
= ... = h
m−1
= 0, а
следующий остаток отличен от нуля: h
m
6= 0.
Пример 41.3. Решим типовую "задачу с параметрами" на схему
Горнера.
З а д а ч а: Выяснить, при каких значениях параметров A и B
многочлен f(x) = Ax
4
+ Bx
3
+ 1 делится на (x − 1)
2
.
Р е ш е н и е: Задачу можно переформулировать следующим
образом: при каких значениях A и B число c = 1 является корнем
многочлена f(x), кратности не ниже 2?
Выпишем ступенчатую схему Горнера с тремя ступеньками (см.
табл. 41.3). Кратность корня будет не ниже двух тогда и только
§ 41                        Схема Горнера                           387

   Искомые коэффициенты

                    h0 , h1 , h2 , ..., hn−2 , hn−1 , hn

(остатки) будут последними элементами в строках таблицы, начиная
со второй.
   Пример 41.2. Дан многочлен

         f (x) = 8x6 − 44x5 + 50x4 + 55x3 − 55x2 − 56x − 12

над полем Q. Требуется переразложить его по степеням x − 2.
  Р е ш е н и е см. в табл. 41.2б (прил. 2).
  О т в е т:

f (x) = −125(x − 2)2 − 25(x − 2)3 + 90(x − 2)4 + 52(x − 2)5 + 8(x − 2)6 .

   41.3. Определение кратности корня многочлена с помо-
щью схемы Горнера. Посмотрите еще раз на ответ примера 41.2
и на диагональ в табл. 41.2б, содержащую коэффициенты формулы
Тейлора.
   Из ответа ясно, что c = 2 является корнем многочлена f (x), при-
чем этот многочлен, очевидно, делится на (x − 2)2 и в частном полу-
чается многочлен, который уже не делится на x − 2. Значит, крат-
ность c = 2 как корня f (x) равна 2.
   Из таблицы усматривается следующее правило, справедливое в
общем случае.
   П р а в и л о: Кратность корня c многочлена f (x) равна m тогда и
только тогда, когда в табл. 41.2а, на диагонали, содержащей остатки,
имеется в начале m нулей подряд: h0 = h1 = ... = hm−1 = 0, а
следующий остаток отличен от нуля: hm 6= 0.
  Пример 41.3. Решим типовую "задачу с параметрами" на схему
Горнера.
  З а д а ч а: Выяснить, при каких значениях параметров A и B
многочлен f (x) = Ax4 + Bx3 + 1 делится на (x − 1)2 .
  Р е ш е н и е: Задачу можно переформулировать следующим
образом: при каких значениях A и B число c = 1 является корнем
многочлена f (x), кратности не ниже 2?
  Выпишем ступенчатую схему Горнера с тремя ступеньками (см.
табл. 41.3). Кратность корня будет не ниже двух тогда и только

Страницы