Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 388 стр.

388                     Алгебра многочленов                         Гл. 6

тогда, когда A+B+1 = 0 и 4A+3B = 0. Этими условиями параметры
однозначно определены: A = 3, B = −4.
   А третью ступеньку мы изобразили для того, чтобы узнать, ка-
ково будет точное значение кратности: не будет ли оно больше 2?
   (Здесь автору хотелось бы продемонстрировать, как может про-
явиться одно из самых ценных свойств студента — любознатель-
ность. Получив и решив задачу, хороший студент задумывается:
   — нельзя ли извлечь из условия дополнительную информацию?
   — нельзя ли утверждение задачи усилить (получить из условия
больше, чем предписывается заданием)?
   — может быть, условие задачи можно "ослабить" (получить тот
же результат при более слабых ограничениях)?
   — а что если на используемом материале придумать более инте-
ресную задачу?
   — и так далее, и тому подобное.)
   Третий остаток 6A + 4B = 2 6= 0, следовательно, кратность в этом
случае в точности равна двум.
   О т в е т : (x−1)2 |f (x) тогда и только тогда, когда A = 3, B = −4;
(x − 1)3 не делит f (x) ни при каких значениях A и B.




       § 42. Рациональные корни многочленов
          с рациональными коэффициентами

  42.1. Многочлены с рациональными коэффициентами и
многочлены с целыми коэффициентами. Рассмотрим много-
член (36.18), положительной степени n, с коэффициентами из поля
рациональных чисел Q:

                       pi
                ai =      ; pi , qi ∈ Z; qi 6= 0 (i = 0, ..., n).   (42.1)
                       qi

    Представление рационального числа в виде дроби a = p/q (где
p, q ∈ Z; q 6= 0) определено не однозначно: дробь p0 /q 0 (q 0 6= 0)
определяет то же самое число a тогда и только тогда, когда pq 0 = qp0
(в кольце Z). Дробь всегда можно выбрать нормализованной, т. е.
несократимой, с положительным знаменателем.
    С другой стороны, набор дробей (42.1) можно привести к общему