Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 390 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

390 Алгебра многочленов Гл. 6
В связи с этим наложим с самого начала ограничение a
n
6= 0.
Кроме того, исследование лишь облегчится, если вынести за скоб-
ку наибольший общий делитель коэффициентов данного многочле-
на. Поэтому мы будем изначально считать коэффициенты много-
члена взаимно простыми. (Для формулировки следующего пред-
ложения это не существенно, но при практических вычислениях по
алгоритму следующего пункта предполагаемая взаимная простота
коэффициентов может заметно сократить перебор и ускорить рабо-
ту.)
Рациональные корни у многочлена (42.6) вообще могут отсутство-
вать, но если они есть, то их легко найти все с помощью просто-
го перебора. Следующее предложение является совершенно элемен-
тарным и "школьным", его обязательно изучают в математических
классах и с ним непременно знакомятся школьники, ориентирующи-
еся на поступление в "серьезные" вузы.
Предложение 42.1. Рассмотрим многочлен (42.6), с целыми ко-
эффициентами, положительной степени, с ненулевым свободным
членом, а также несократимую дробь c = s/t ∈ Q. Если число c
является корнем данного многочлена, то
1) числитель s делит свободный член a
n
;
2) знаменатель t делит старший коэффициент a
0
;
3) для любого целого u число s − ut делит значение f(u).
Доказательство. 1. Пусть f(c) = 0, т. е. выполняется равенство
a
0
³
s
t
´
n
+ a
1
³
s
t
´
n−1
+ ... + a
n−1
s
t
+ a
n
= 0. (42.7)
Домножая обе части (42.7) на t
n
, мы получим следующее равен-
ство в кольце Z:
a
0
s
n
+ a
1
s
n−1
t + ... + a
n−1
st
n−1
+ a
n
t
n
= 0. (42.8)
Все члены в левой части (42.8), кроме последнего, содержат мно-
житель s; значит, и последний член a
n
t
n
должен делиться на s. По
предположению числа s и t являются взаимно простыми. Это вле-
чет, во-первых, взаимную простоту s и t
n
и, во-вторых, факт дели-
мости на s числа a
n
(использованы применительно к кольцу Z свой-
ства отношения делимости и свойства взаимно простых элементов
из предложения 38.5).
2. Рассуждая совершенно аналогично, мы получим сначала t|a
0
s
n
и затем t|a
0
.
390                   Алгебра многочленов                       Гл. 6

   В связи с этим наложим с самого начала ограничение an 6= 0.
   Кроме того, исследование лишь облегчится, если вынести за скоб-
ку наибольший общий делитель коэффициентов данного многочле-
на. Поэтому мы будем изначально считать коэффициенты много-
члена взаимно простыми. (Для формулировки следующего пред-
ложения это не существенно, но при практических вычислениях по
алгоритму следующего пункта предполагаемая взаимная простота
коэффициентов может заметно сократить перебор и ускорить рабо-
ту.)
   Рациональные корни у многочлена (42.6) вообще могут отсутство-
вать, но если они есть, то их легко найти все с помощью просто-
го перебора. Следующее предложение является совершенно элемен-
тарным и "школьным", его обязательно изучают в математических
классах и с ним непременно знакомятся школьники, ориентирующи-
еся на поступление в "серьезные" вузы.
  Предложение 42.1. Рассмотрим многочлен (42.6), с целыми ко-
эффициентами, положительной степени, с ненулевым свободным
членом, а также несократимую дробь c = s/t ∈ Q. Если число c
является корнем данного многочлена, то
  1) числитель s делит свободный член an ;
  2) знаменатель t делит старший коэффициент a0 ;
  3) для любого целого u число s − ut делит значение f (u).
  Доказательство. 1. Пусть f (c) = 0, т. е. выполняется равенство
             ³ s ´n      ³ s ´n−1             s
          a0        + a1          + ... + an−1 + an = 0.    (42.7)
               t           t                  t
   Домножая обе части (42.7) на tn , мы получим следующее равен-
ство в кольце Z:

            a0 sn + a1 sn−1 t + ... + an−1 stn−1 + an tn = 0.   (42.8)

   Все члены в левой части (42.8), кроме последнего, содержат мно-
житель s; значит, и последний член an tn должен делиться на s. По
предположению числа s и t являются взаимно простыми. Это вле-
чет, во-первых, взаимную простоту s и tn и, во-вторых, факт дели-
мости на s числа an (использованы применительно к кольцу Z свой-
ства отношения делимости и свойства взаимно простых элементов
из предложения 38.5).
   2. Рассуждая совершенно аналогично, мы получим сначала t|a0 sn
и затем t|a0 .

Страницы