Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 391 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 42 Рациональные корни многочленов над Q 391
3. Произведем в многочлене f(x) замену переменной x = y + u
(сдвиг). Получим новый многочлен
h(y) = f(x) = f(y + u) =
= a
0
(y + u)
n
+ a
1
(y + u)
n−1
+ ... + a
n−1
(y + u) + a
n
=
= v
0
y
n
+ v
1
y
n−1
+ ... + v
n−1
y + v
n
,
где v
i
∈ Z (i = 0, ..., n); v
0
= a
0
; v
n
= h(0) = f(u).
Число c ∈ Q будет корнем многочлена f(x) тогда и только тогда,
когда число c −u будет корнем h(y). [В самом деле, h(c −u) = f(c).]
В частности, если дробь c =
s
t
несократима и является корнем
f(x), то выражение c − u =
s−ut
t
также является несократимой дро-
бью и будет корнем многочлена h(y).
По уже доказанному в первом пункте доказательства, числитель
этой дроби s − ut должен делить свободный член v
n
= f(u). ¤
Следствие. Если многочлен (42.6) является нормализованным,
т. е. a
0
= 1, то всякий его рациональный корень является целым.
Доказательство. Если t|1, то t = ±1 и число c ∈ Z. ¤
42.3. Алгоритм отыскания всех рациональных корней для
многочлена с целыми коэффициентами. В силу предложения
42.1, задача отыскания рациональных корней для многочлена (42.6),
с целыми коэффициентами и ненулевым свободным членом, сводит-
ся к задаче перебора всех (можно считать, что — нормализованных)
дробей c = s/t, таких, что s ∈ S и t ∈ T , где введены обозначения:
S — множество всех делителей свободного члена a
n
; T — множество
всех положительных делителей старшего коэффициента a
0
.
Множество всех "подозрительных" дробей (повторяющиеся эле-
менты, разумеется, исключаются) будет обозначаться C.
Проверку каждой из дробей c ∈ C следует оформлять с помощью
схемы Горнера, одновременно определяя кратность обнаруженного
корня. Понадобится всего одна (ступенчатая) схема Горнера (см.
ниже пример 42.1).
Отыскание каждого очередного корня уменьшает степень подле-
жащего дальнейшему исследованию многочлена на столько единиц,
какова кратность найденного корня.
Некоторые пробы будут давать отрицательный результат. Соот-
ветствующие строки подлежат удалению (вычеркиванию) из ступен-
чатой схемы Горнера. (Следующую строку мы будем просчитывать
так, как будто предыдущей, вычеркнутой нет.)
§ 42          Рациональные корни многочленов над Q                     391

   3. Произведем в многочлене f (x) замену переменной x = y + u
(сдвиг). Получим новый многочлен
       h(y) = f (x) = f (y + u) =
           = a0 (y + u)n + a1 (y + u)n−1 + ... + an−1 (y + u) + an =
           = v0 y n + v1 y n−1 + ... + vn−1 y + vn ,

где vi ∈ Z (i = 0, ..., n); v0 = a0 ; vn = h(0) = f (u).
   Число c ∈ Q будет корнем многочлена f (x) тогда и только тогда,
когда число c − u будет корнем h(y). [В самом деле, h(c − u) = f (c).]
   В частности, если дробь c = st несократима и является корнем
f (x), то выражение c − u = s−ut   t   также является несократимой дро-
бью и будет корнем многочлена h(y).
   По уже доказанному в первом пункте доказательства, числитель
этой дроби s − ut должен делить свободный член vn = f (u). ¤
   Следствие. Если многочлен (42.6) является нормализованным,
т. е. a0 = 1, то всякий его рациональный корень является целым.
   Доказательство. Если t|1, то t = ±1 и число c ∈ Z. ¤
   42.3. Алгоритм отыскания всех рациональных корней для
многочлена с целыми коэффициентами. В силу предложения
42.1, задача отыскания рациональных корней для многочлена (42.6),
с целыми коэффициентами и ненулевым свободным членом, сводит-
ся к задаче перебора всех (можно считать, что — нормализованных)
дробей c = s/t, таких, что s ∈ S и t ∈ T , где введены обозначения:
S — множество всех делителей свободного члена an ; T — множество
всех положительных делителей старшего коэффициента a0 .
   Множество всех "подозрительных" дробей (повторяющиеся эле-
менты, разумеется, исключаются) будет обозначаться C.
   Проверку каждой из дробей c ∈ C следует оформлять с помощью
схемы Горнера, одновременно определяя кратность обнаруженного
корня. Понадобится всего одна (ступенчатая) схема Горнера (см.
ниже пример 42.1).
   Отыскание каждого очередного корня уменьшает степень подле-
жащего дальнейшему исследованию многочлена на столько единиц,
какова кратность найденного корня.
   Некоторые пробы будут давать отрицательный результат. Соот-
ветствующие строки подлежат удалению (вычеркиванию) из ступен-
чатой схемы Горнера. (Следующую строку мы будем просчитывать
так, как будто предыдущей, вычеркнутой нет.)

Страницы