Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 393 стр.

§ 42          Рациональные корни многочленов над Q                 393

  Пример 42.1. Рассмотрим многочлен с целыми коэффициента-
ми:
      f (x) = 12x7 − 4x6 − 17x5 − 18x4 + 37x3 − 14x + 4.
  Найдем все рациональные корни этого многочлена.
  На "подготовительном этапе" проверим по Горнеру, являются ли
корнями этого многочлена числа 1 и −1. (И если да, то — какой
кратности.) Вычисления представлены в табл. 42.1а (прил. 2).
  Оказалось, что 1 является корнем кратности 2, а −1 корнем не
является. Получено разложение на множители

                           f (x) = (x − 1)2 g(x),

где многочлен

              g(x) = 12x5 + 20x4 + 11x3 − 16x2 − 6x + 4

уже не имеет числа ±1 своими корнями.
  Попутно определены значения многочлена:

                         g(1) = 25; g(−1) = −9.

   Формируем множество S всех целых делителей свободного члена
b5 = 4 многочлена g(x) и множество T всех натуральных делителей
старшего коэффициента b0 = 12 этого многочлена:

             S = {−4, −2, −1, 1, 2, 4}; T = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.

  Формируем множество C, состоящее из всевозможных дробей s/t,
таких, что s ∈ S, t ∈ T (целые числа записываем как дроби с еди-
ничным знаменателем):

       ½
           1 −1 2 −2 4 −4 1 −1
  C=        ;  ; ;  ; ;   ; ;  ;
           1 1 1 1 1 1 2 2
                                                    ¾
                      1 −1 2 −2 4 −4 1 −1 1 −1 1 −1
                        ;  ; ;   ; ; ; ; ; ;  ; ;     .
                      3 3 3 3 3 3 4 4 6 6 12 12

   Выбрасываем из множества C дроби, равные ±1 (поскольку по
построению g(x) они не являются корнями этого многочлена).
   К оставшимся дробям применяем (test 1) и (test 2): разность
s − t должна делить число g(1) = 25, а сумма s + t должна делить