Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 395 стр.

§ 43                        Многочлены над R                            395

                          § 43. Многочлены
         с действительными коэффициентами
                   и их разложение
       на линейные и квадратичные множители
   43.1. Сопряженные многочлены для многочленов с ком-
плексными коэффициентами. Рассмотрим многочлен f (x) над
полем C, заданный формулой (36.18). К каждому из его коэффи-
циентов можно применить операцию комплексного сопряжения (см.
п. 31.3); при этом получится новый многочлен (такой же степени),
называемый сопряженным данному:

                 f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an .         (43.1)

  Установим связь между значениями (см. замечание 39.1) много-
членов (36.18) и (43.1) в произвольной точке c ∈ C.
  Предложение 43.1. 1. Для любого комплексного числа c зна-
чения сопряженных друг другу многочленов связаны формулой

                                 f (c) = f (c) .                       (43.2)

   2. Число c ∈ C является корнем (кратности k) для многочлена
f (x) тогда и только тогда, когда число c является корнем (такой же
кратности) для многочлена f (x).
  Доказательство. 1. Первое утверждение предложения очевид-
ным образом вытекает из свойств операции комплексного сопряже-
ния (см. предложение 31.1):

  a0 cn + a1 cn−1 + ... + an−1 c + an =
                              = a0 · cn + a1 · cn−1 + ... + an−1 · c + an .

   2. Из формулы (43.2) немедленно следует, что c является корнем
f (x) тогда и только тогда, когда c является корнем f (x). Остается
доказать совпадение кратностей этих корней.
   То, что кратность c как корня f (x) равняется k, означает, что
имеет место разложение на множители

                            f (x) = (x − c)k g(x),                     (43.3)

где g(c) 6= 0.