Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 397 стр.

§ 43                    Многочлены над R                         397

где 0 6 s 6 n, и сформируем список соответствующих кратностей:

                             m1 , m2 , ..., ms .               (43.5a)

   Остальные n − s корней будут комплексными, не действитель-
ными. Сейчас мы докажем, что число n − s является четным, по
той причине, что вместе с каждым комплексным корнем многочлен
с действительными коэффициентами имеет сопряженный комплекс-
ный корень, причем такой же кратности. [Для случая действитель-
ных корней это утверждение ничего не дает, поскольку является тав-
тологичным, а для случая недействительных корней приводит к
выводу о том, что такие корни встречаются парами вида (корень,
сопряженный корень).]
  Предложение 43.2. Если комплексное число c является корнем
(кратности k) многочлена f (x) с действительными коэффициента-
ми, то и сопряженное комплексное число c является корнем этого
многочлена (такой же кратности).
  Доказательство немедленно следует из второго утверждения
предложения 43.1 с учетом того, что многочлен с действительными
коэффициентами, рассматриваемый над полем комплексных чисел,
является, очевидно, "самосопряженным". ¤
  Следствие. Всякий многочлен нечетной степени с действитель-
ными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень.
   Доказательство очевидно. ¤
   Продолжим рассмотрение совокупности корней многочлена f (x).
   Обозначим (сгруппированные попарно) недействительные корни
этого многочлена
                    w1 , w1 , w2 , w2 , ..., wt , wt    (43.6)
и рассмотрим соответствующий список кратностей

                         l1 , l1 , l2 , l2 , ..., lt , lt .    (43.6a)

  Объединим списки (43.5) и (43.6), а также соответствующие спис-
ки кратностей. Должно выполняться равенство

            m1 + m2 + ... + ms + 2(l1 + l2 + ... + lt ) = n.    (43.7)