Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 398 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

398 Алгебра многочленов Гл. 6
43.3. Разложение многочлена с действительными коэф-
фициентами на линейные и квадратичные множители. Раз-
ложим теперь многочлен f(x) ∈ R[x] над полем C на линейные мно-
жители по формуле (40.10), используя описанную в предыдущем
пункте группировку корней:
f(x) = a
0
· (x − c
1
)
m
1
· ... · (x − c
s
)
m
s
·
· [(x − w
1
)(x − w
1
)]
l
1
· ... · [(x − w
t
)(x − w
t
)]
l
t
. (43.8)
Представим далее комплексные числа w
k
(k = 1, ..., t) и числа, им
сопряженные, в алгебраической форме, а затем раскроем в формуле
(43.8) круглые скобки внутри квадратных:
w
k
= α
k
+ β
k
i; w
k
= α
k
− β
k
i; α
k
, β
k
∈ R; β
k
6= 0; (43.9)
(x − w
k
)(x − w
k
) = x
2
− (w
k
+ w
k
)x + w
k
w
k
=
= x
2
− 2α
k
x + α
2
k
+ β
2
k
= x
2
+ p
k
x + q
k
, (43.10)
где введены обозначения
p
k
= 2α
k
= 2Re(w
k
); q
k
= α
2
k
+ β
2
k
= |w
k
|
2
. (43.11)
Выражения (43.10) представляют собой квадратные трехчлены с
действительными коэффициентами, которые по самому построению
не имеют действительных корней и, следовательно, имеют отрица-
тельные дискриминанты. (Последний вывод, впрочем, можно полу-
чить и непосредственно: D
k
= −4β
2
k
< 0, поскольку β
k
6= 0.)
Таким образом, доказано следующее
Предложение 43.3. Рассмотрим многочлен f(x) ∈ R[x] вида
(36.18), положительной степени n, и список его действительных и
недействительных корней
c
1
, c
2
, ..., c
s
; w
1
, w
1
, w
2
, w
2
, ..., w
t
, w
t
(43.12)
вместе со списком соответствующих кратностей
m
1
, m
2
, ..., m
s
; l
1
, l
1
, l
2
, l
2
, ..., l
t
, l
t
. (43.12a)
398                        Алгебра многочленов                                   Гл. 6

  43.3. Разложение многочлена с действительными коэф-
фициентами на линейные и квадратичные множители. Раз-
ложим теперь многочлен f (x) ∈ R[x] над полем C на линейные мно-
жители по формуле (40.10), используя описанную в предыдущем
пункте группировку корней:

  f (x) = a0 · (x − c1 )m1 · ... · (x − cs )ms ·
                   · [(x − w1 )(x − w1 )]l1 · ... · [(x − wt )(x − wt )]lt .     (43.8)

   Представим далее комплексные числа wk (k = 1, ..., t) и числа, им
сопряженные, в алгебраической форме, а затем раскроем в формуле
(43.8) круглые скобки внутри квадратных:


       wk = αk + βk i; wk = αk − βk i; αk , βk ∈ R; βk 6= 0;                     (43.9)


  (x − wk )(x − wk ) = x2 − (wk + wk )x + wk wk =
                         = x2 − 2αk x + αk2 + βk2 = x2 + pk x + qk ,            (43.10)

где введены обозначения

           pk = 2αk = 2Re(wk ); qk = αk2 + βk2 = |wk |2 .                       (43.11)

   Выражения (43.10) представляют собой квадратные трехчлены с
действительными коэффициентами, которые по самому построению
не имеют действительных корней и, следовательно, имеют отрица-
тельные дискриминанты. (Последний вывод, впрочем, можно полу-
чить и непосредственно: Dk = −4βk2 < 0, поскольку βk 6= 0.)
   Таким образом, доказано следующее
   Предложение 43.3. Рассмотрим многочлен f (x) ∈ R[x] вида
(36.18), положительной степени n, и список его действительных и
недействительных корней

                  c1 , c2 , ..., cs ; w1 , w1 , w2 , w2 , ..., wt , wt          (43.12)

вместе со списком соответствующих кратностей

                   m1 , m2 , ..., ms ; l1 , l1 , l2 , l2 , ..., lt , lt .      (43.12a)

Страницы