Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 400 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

400 Алгебра многочленов Гл. 6
Корнями будут числа: 1+i, −1+i, −1−i и 1−i. Разложение на ли-
нейные множители над C (с группировкой множителей, отвечающих
комплексно сопряженным корням) будет иметь вид
f(x) = [(x − (1 + i))(x − (1 − i))] · [(x − (−1 + i))(x − (−1 − i))].
Перемножая круглые скобки внутри квадратных [или пользуясь
готовыми формулами (43.11)], получим разложение многочлена f(x)
на квадратичные (с отрицательным дискриминантом) множители
над R:
f(x) = (x
2
− 2x + 2)(x
2
+ 2x + 2).
Это же самое разложение можно получить (элементарным) искус-
ственным приемом "прибавить и отнять":
f(x) = x
4
+ 4 = (x
4
+ 4x
2
+ 4) − 4x
2
=
= (x
2
+ 2)
2
− (2x)
2
= (x
2
− 2x + 2)(x
2
+ 2x + 2).
Пример 43.2. В "совсем школьном" примере f(x) = x
3
− 1 мы
получим разложение над R с помощью формулы "разность кубов":
f(x) = (x − 1)(x
2
+ x + 1).
Разложение над C будет иметь вид
f(x) = (x − 1)(x − (−
1
2
+
√
3
2
i))(x − (−
1
2
−
√
3
2
i)).
Пример 43.3. Еще один пример, связанный с извлечением кор-
ней из комплексных чисел: f(x) = x
8
+ 1. Главное значение корня
восьмой степени из −1 будет иметь аргумент π/8; понадобятся фор-
мулы (32.15) для синуса и косинуса этого угла.
Разложение над C:
f(x) = (x −(
p
2 +
√
2
2
+i
p
2 −
√
2
2
))·(x −(
p
2 −
√
2
2
+i
p
2 +
√
2
2
))·
· (x − (−
p
2 −
√
2
2
+ i
p
2 +
√
2
2
)) · (x − (−
p
2 +
√
2
2
+ i
p
2 −
√
2
2
))·
· (x − (−
p
2 +
√
2
2
− i
p
2 −
√
2
2
)) · (x − (−
p
2 −
√
2
2
− i
p
2 +
√
2
2
))·
· (x − (
p
2 −
√
2
2
− i
p
2 +
√
2
2
)) · (x − (
p
2 +
√
2
2
− i
p
2 −
√
2
2
)).
400                      Алгебра многочленов                             Гл. 6

  Корнями будут числа: 1+i, −1+i, −1−i и 1−i. Разложение на ли-
нейные множители над C (с группировкой множителей, отвечающих
комплексно сопряженным корням) будет иметь вид
   f (x) = [(x − (1 + i))(x − (1 − i))] · [(x − (−1 + i))(x − (−1 − i))].
   Перемножая круглые скобки внутри квадратных [или пользуясь
готовыми формулами (43.11)], получим разложение многочлена f (x)
на квадратичные (с отрицательным дискриминантом) множители
над R:
               f (x) = (x2 − 2x + 2)(x2 + 2x + 2).
   Это же самое разложение можно получить (элементарным) искус-
ственным приемом "прибавить и отнять":
  f (x) = x4 + 4 = (x4 + 4x2 + 4) − 4x2 =
                     = (x2 + 2)2 − (2x)2 = (x2 − 2x + 2)(x2 + 2x + 2).

  Пример 43.2. В "совсем школьном" примере f (x) = x3 − 1 мы
получим разложение над R с помощью формулы "разность кубов":
                        f (x) = (x − 1)(x2 + x + 1).
   Разложение над C будет иметь вид
                                  √                √
                               1    3           1    3
         f (x) = (x − 1)(x − (− +     i))(x − (− −     i)).
                               2   2            2   2

   Пример 43.3. Еще один пример, связанный с извлечением кор-
ней из комплексных чисел: f (x) = x8 + 1. Главное значение корня
восьмой степени из −1 будет иметь аргумент π/8; понадобятся фор-
мулы (32.15) для синуса и косинуса этого угла.
   Разложение над C:
                 p     √      p       √                p     √     p     √
                   2+ 2          2− 2                    2− 2        2+ 2
  f (x) = (x − (           +i              )) · (x − (          +i           ))·
            p        2    p        2                p      2      p    2
                   √             √                         √            √
              2− 2          2+ 2                       2+ 2         2− 2
 · (x − (−             +i            )) · (x − (−              +i          ))·
            p   2         p   2                     p    2        p  2
                   √             √                         √            √
              2+ 2          2− 2                       2− 2         2+ 2
 · (x − (−             −i            )) · (x − (−              −i          ))·
             p  2         p   2                    p     2       p   2
                   √             √                        √           √
               2− 2         2+ 2                      2+ 2         2− 2
    · (x − (           −i             )) · (x − (             −i          )).
                 2             2                        2           2

Страницы