Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 401 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 44 Неразложимые элементы. Неприводимые многочлены 401
Разложение над R:
f(x) = (x
2
−
q
2 −
√
2 x + 1) · (x
2
+
q
2 −
√
2 x + 1)·
· (x
2
−
q
2 +
√
2 x + 1) · (x
2
+
q
2 +
√
2 x + 1).
То же разложение элементарными средствами получается так:
f(x) = x
8
+ 1 = (x
4
+ 1)
2
− 2x
2
=
= (x
4
−
√
2 x
2
+ 1)(x
4
+
√
2 x
2
+ 1) =
[(x
2
+ 1)
2
− (2 +
√
2)x
2
] · [(x
2
+ 1)
2
− (2 −
√
2)x
2
] =
= (x
2
−
q
2 +
√
2 x + 1) · (x
2
+
q
2 +
√
2 x + 1)·
· (x
2
−
q
2 −
√
2 x + 1) · (x
2
+
q
2 −
√
2 x + 1).
Замечание 43.1. Проследите (это будет поучительным) за реак-
цией Maple на команды:
> factor( x ˆ 8 + 1 ); factor( x ˆ 8 + 1, sqrt(2) );
factor( x ˆ 8 + 1, I); factor( x ˆ 8 + 1, sqrt( 2 + sqrt(2) ) );
§
§
§ 44. Неразложимые элементы
в целостном кольце. Простые элементы.
Неприводимые многочлены
44.1. Понятие неразложимого элемента в целостном коль-
це. В текущей главе основным предметом нашего изучения явля-
ются кольца многочленов. Однако некоторые факты теории таких
колец становятся понятнее в общем контексте теории делимости в
целостных кольцах. (Например, свойства кольца P [x] многочленов
над полем P очень похожи на свойства кольца целых чисел Z.)
В связи с этим в ряде пунктов (см. 36.4 — 36.6, 37.2, 38.1, 38.5,
38.7, 38.8) теория делимости излагалась в большей общности, чем
это необходимо для изучения только многочленов.
§ 44   Неразложимые элементы. Неприводимые многочлены                   401

   Разложение над R:

                  q                      q
                        √                      √
  f (x) = (x2 −    2−      2 x + 1) · (x2 + 2 − 2 x + 1)·
                                 q                    q
                                        √                 √
                        · (x2 − 2 + 2 x + 1) · (x2 + 2 + 2 x + 1).

   То же разложение элементарными средствами получается так:

  f (x) = x8 + 1 = (x4 + 1)2 − 2x2 =
                           √                √
                  = (x4 − 2 x2 + 1)(x4 + 2 x2 + 1) =
                             √                         √
          [(x2 + 1)2 − (2 + 2)x2 ] · [(x2 + 1)2 − (2 − 2)x2 ] =
                     q                        q
                 2
                             √            2
                                                     √
             = (x − 2 + 2 x + 1) · (x + 2 + 2 x + 1)·
                               q                       q
                           2
                                     √             2
                                                            √
                       · (x − 2 − 2 x + 1) · (x + 2 − 2 x + 1).


  Замечание 43.1. Проследите (это будет поучительным) за реак-
цией Maple на команды:
   > factor( x ˆ 8 + 1 ); factor( x ˆ 8 + 1, sqrt(2) );
     factor( x ˆ 8 + 1, I); factor( x ˆ 8 + 1, sqrt( 2 + sqrt(2) ) );



              § 44. Неразложимые элементы
       в целостном кольце. Простые элементы.
             Неприводимые многочлены

   44.1. Понятие неразложимого элемента в целостном коль-
це. В текущей главе основным предметом нашего изучения явля-
ются кольца многочленов. Однако некоторые факты теории таких
колец становятся понятнее в общем контексте теории делимости в
целостных кольцах. (Например, свойства кольца P [x] многочленов
над полем P очень похожи на свойства кольца целых чисел Z.)
   В связи с этим в ряде пунктов (см. 36.4 — 36.6, 37.2, 38.1, 38.5,
38.7, 38.8) теория делимости излагалась в большей общности, чем
это необходимо для изучения только многочленов.

Страницы