Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 402 стр.

402                       Алгебра многочленов                                  Гл. 6

   Напомним, в частности, что в п. 38.1 фигурировало условие Безу
для целостных колец (состоящее в том, что для любых двух эле-
ментов кольца существует НОД, допускающий линейное представ-
ление), а в п. 38.8 был определен класс евклидовых колец (в которых
возможна работа алгоритма Евклида).
   В настоящем и последующих параграфах указанная "абстракт-
ная линия" будет развиваться дальше; мы обнаружим, что сходство
арифметики целых чисел и алгебры многочленов оказывается еще
более глубоким: в кольцах многочленов возможно разложение на так
называемые неприводимые множители, аналогичное разложению це-
лых чисел на простые множители.
   Пусть K — целостное кольцо (см. п. 36.6), K ∗ — группа его об-
ратимых элементов (см. п. 36.4). На кольце K заданы отношения
ассоциированности (см. п. 36.5) и делимости (см. п. 37.2).
   Определение 44.1. Неразложимым называется такой элемент
a ∈ K, который
   1) необратим (a ∈/ K ∗ ) и отличен от нуля;
   2) делится лишь на обратимые элементы и на элементы, ассоции-
рованные ему, т. е.

                        ( b | a ) ⇒ ( b ∈ K ∗ ) ∨ ( b ∼ a ).                   (44.1)


   Замечание 44.1. Две возможности, фигурирующие в условии 2
определения 44.1, являются (в силу условия 1) взаимоисключающи-
ми. Условие 2 можно пересказать иначе: если элемент a разлагается
в произведение двух сомножителей (a = b · c), то либо элемент b об-
ратим (и тогда a и c ассоциированы), либо c обратим (и тогда a и b
ассоциированы). В формульной записи:

  ( a = b · c ) ⇒ [ ( b ∈ K ∗ ) ∧ ( c ∼ a ) ] ∨ [ ( c ∈ K ∗ ) ∧ ( b ∼ a ) ].   (44.2)

  Для необратимого и ненулевого элемента a тривиальными назы-
ваются: 1) обратимые делители; 2) делители, ассоциированные с a.
Пользуясь этим термином, условие 2 можно выразить еще одним
способом: элемент a имеет только тривиальные делители.
  Термин разложимый элемент также обычно относят к ненулевым
и необратимым элементам (т. е. обратимые элементы и нуль не от-
носятся ни к разложимым, ни к неразложимым). Свойство разло-
жимости ненулевого необратимого элемента (т. е. отрицание условия