Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 403 стр.

§ 44   Неразложимые элементы. Неприводимые многочлены            403

2) можно выразить так: элемент разлагается в произведение двух
необратимых элементов.
   Заметим, что в целостном кольце вообще может не быть неразло-
жимых элементов. (Простейший пример — поле, оно является це-
лостным кольцом, но все его элементы, кроме нулевого, обратимы.)
  В следующем предложении приводятся общие свойства неразло-
жимых элементов.
   Предложение 44.1. 1. Элемент, ассоциированный с неразложи-
мым элементом, сам является неразложимым.
   2. Если один неразложимый элемент делит другой неразложимый,
то эти элементы ассоциированы.
   Доказательство. 1. Пусть элемент a является неразложимым и
a ∼ a, т. е. a0 = au, где u обратим. Тогда, очевидно, элемент a0 , так
 0

же как и a, является необратимым и ненулевым.
   Если бы a0 оказался разложимым, то нашлись бы необратимые
элементы b, c ∈ K, такие, что a0 = bc. А значит, элемент a = a0 u−1 =
b(cu−1 ) являлся бы произведением необратимых элементов и, следо-
вательно, был бы разложимым, что противоречит предположению.
   2. Второе утверждение непосредственно следует из определения
неразложимого элемента. ¤
     44.2. Понятие простого элемента в целостном кольце
  Определение 44.2. Элемент a ∈ K называется простым, если
  1) он необратим и отличен от нуля;
  2) из того факта, что a делит произведение двух элементов b·c вы-
текает, что a делит хотя бы один из сомножителей, т. е. справедлива
импликация:
                     ( a | b · c ) ⇒ ( a | b ) ∨ ( a | c ).   (44.3)

  Замечание 44.2. Свойство 2 из определения простых элементов
по индукции легко обобщается на любое количество сомножителей.
  В качестве упражнения, пользуясь свойствами отношения дели-
мости (см. предложение 37.1), вы легко докажете утверждение, ана-
логичное первому пункту предложения 44.1: элемент, ассоциирован-
ный простому, сам прост.
  Простота есть, вообще говоря, свойство более сильное, чем нераз-
ложимость, но в некоторых случаях эти свойства равносильны. Точ-
нее, справедливо следующее