Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 405 стр.

§ 44   Неразложимые элементы. Неприводимые многочлены         405

   44.3. Канонические неразложимые (простые) элементы.
Поскольку неразложимые (простые) элементы встречаются целыми
классами, содержащими элементы, ассоциированные друг другу, то
было бы удобным в каждом из таких классов выбрать ("назначить")
канонического ("узаконенного") представителя. В некоторых коль-
цах имеется естественный способ такого "назначения". (Мы уже
кратко говорили об этом в п. 36.5.)
   Например, в кольце Z каноническими неразложимыми элемен-
тами принято считать положительные простые числа. О кольце
многочленов подробнее будет сказано в следующем пункте. В об-
щем же случае приходится выбирать канонических представителей
(сплошная демократия!) по произволу.
   В дальнейшем мы иногда будем использовать аббревиатуру к.н.
для термина "канонический неразложимый" (элемент, представи-
тель или множитель).
   44.4. Неприводимые многочлены. В этом пункте мы будем
рассматривать кольцо K = P [x] многочленов над полем P. Это коль-
цо (как и кольцо целых чисел) является евклидовым (см. п. 38.8); на
его (ненулевых) элементах задана функция "степень", следящая за
делением (с остатком или нацело) и, в частности, обладающая свой-
ством монотонности.
   Введем важнейшее в теории многочленов
  Определение 44.3. Многочлен f (x) ∈ P [x], положительной сте-
пени, называется неприводимым, если он не разлагается в произве-
дение многочленов меньшей степени.
  Непосредственно из определения 44.3 следует, что (над любым
полем) многочлены первой степени неприводимы. (В самом деле,
меньшей, чем первая, является лишь нулевая степень, а произве-
дение двух многочленов нулевой степени также имеет нулевую сте-
пень.)
  Предложение 44.3. Неприводимые многочлены и только они
являются неразложимыми (простыми) элементами кольца P [x].
  Доказательство. Обратимыми элементами в кольце P [x] явля-
ются ненулевые константы, т. е. многочлены нулевой степени. Нену-
левыми необратимыми элементами будут, таким образом, многочле-
ны положительной степени.
  Многочлен f (x) степени n > 0 является неразложимым элемен-
том в P [x] тогда и только тогда, когда его нельзя разложить в про-