Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 407 стр.

§ 44   Неразложимые элементы. Неприводимые многочлены        407

   В кольце L[x] неразложимыми элементами будут, во-первых, не-
разложимые скаляры (элементы кольца коэффициентов L) и, во-
вторых, так называемые примитивные неприводимые многочлены,
не имеющие общего для всех членов необратимого скалярного мно-
жителя (т. е. такие, для которых единица 1 ∈ L является наиболь-
шим общим делителем всех коэффициентов).
   Более подробное изложение теории многочленов над кольцами
можно найти, скажем, в учебниках [1, 5, 7, 9]. Начала этой тео-
рии (в основном для многочленов над кольцом Z) будут изложены в
§ 46, при рассмотрении многочленов над полем Q.

  44.5. Неприводимые многочлены над алгебраически за-
мкнутыми полями и над полем действительных чисел

   Предложение 44.4. 1. Над алгебраически замкнутым полем P
(в частности, над полем P = C) неприводимыми являются лишь мно-
гочлены первой степени; все нормализованные неприводимые мно-
гочлены имеют вид x − c, где c ∈ P.
   2. Над полем P = R неприводимыми являются все многочле-
ны первой степени и многочлены второй степени с отрицательным
дискриминантом; нормализованными неприводимыми многочлена-
ми являются многочлены вида x − c (c ∈ R) и вида x2 + px + q
(p, q ∈ R; p2 − 4q < 0).

  Доказательство. 1. Многочлены первой степени, как выше от-
мечалось, неприводимы над любым полем; докажем, что в случае
алгебраически замкнутого поля других неприводимых многочленов
нет. В силу предложения 40.10, всякий многочлен, степень которого
больше единицы, разлагается на линейные множители (в количестве,
равном степени) и, следовательно, не может быть неприводимым.
  2. В случае P = R применяется предложение 43.3. Многочлены
первой степени неприводимы. Многочлены второй степени, имею-
щие неотрицательный дискриминант, приводимы (разлагаются над
R на два линейных множителя). Многочлены второй степени с от-
рицательным дискриминантом являются неприводимыми над R, по-
скольку, будь они приводимыми, они разлагались бы на множители
первой степени и имели бы, следовательно, действительные корни,
что невозможно в силу отрицательности дискриминанта.
  3. Утверждения о виде нормализованных неприводимых много-
членов очевидны, многочлены такого вида уже фигурировали в упо-
мянутых выше предложениях 40.10 и 43.3. ¤