Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 408 стр.

408                    Алгебра многочленов               Гл. 6

  Замечание 44.6. Советуем вам поупражняться с Maple-тестами
неприводимости; введите, например, команды:
  > f := x ˆ 5 + x + 1; irreduc( f ); factor( f );
     irreduc( f, real ); factor( f, real );
     irreduc( f, complex ); factor( f, complex );
и внимательно проследите за результатами. (Над какими полями
произведены эти вычисления?)



              § 45. Факториальные кольца.
        Факториальность кольца целых чисел
          (основная теорема арифметики)
             и факториальность колец
             многочленов (над полем)
   45.1. Определение факториального кольца. Рассмотрим
целостное кольцо K. Сейчас будет введено важнейшее из понятий
теории делимости — понятие факториального кольца. Мы говори-
ли выше, что целостные кольца "похожи" на кольцо целых чисел Z.
Факториальные кольца "очень похожи" на Z: в этих кольцах будет
справедливо утверждение, аналогичное основной теореме арифме-
тики (ОТАр).
   Самое ОТАр студенты-математики изучают в курсе теории чи-
сел. Эта теорема утверждает, что любое целое число (отличное
от 0, 1, −1) разлагается на простые множители, причем однознач-
но, с точностью до порядка сомножителей и их знака. (Например:
12 = 2 · 2 · 3 = (−2) · (−3) · 2.)
   В настоящем параграфе мы получим наряду с другими результа-
тами и эту теорему (как частный случай некоторого общего утвер-
ждения; см. ниже теоремы 45.1 и 45.2).
  Определение 45.1. Целостное кольцо K называется фактори-
альным, если выполнены следующие два условия:
  (Ф.1) всякий ненулевой и необратимый элемент a ∈ K представ-
ляется в виде произведения неразложимых элементов

                           a = p1 · p2 · ... · pk ;      (45.1)

  (Ф.2) разложение (45.1) определено однозначно, с точностью до
порядка сомножителей и их ассоциированности, т. е. если помимо