Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 410 стр.

410                 Алгебра многочленов                    Гл. 6

разложение (45.1) примет сгруппированный вид
                   a = upm 1 m2    ms       ∗
                         1 p2 ... ps ; u ∈ K ,             (45.5)
где сумма кратностей равна исходному количеству неразложимых
сомножителей:
                    m1 + m2 + ... + ms = k.
  Формула (45.5) "лучше" исходной формулы (45.1) еще и тем, что
она годится для записи обратимых элементов: в такой записи будет
k = 0 неразложимых множителей, т. е. "разложение" сведется к
тавтологии a = u ∈ K ∗ . (Таким образом, только нулевой элемент
окажется "не охваченным" формулой разложения.)
  Есть еще одна возможность "унификации" разложений: в каждом
классе ассоциированных элементов следует выбирать канонического
представителя (см. п. 44.3), чтобы в формуле (45.5) присутствова-
ли только канонические неразложимые множители. В этом случае
мы будем называть формулу (45.5) каноническим разложением для
элемента a ∈ K.
  По построению каноническое разложение для элемента a будет
определено однозначно, с точностью лишь до порядка сомножите-
лей. (В самом деле, из факториальности кольца следует, что по-
парно не ассоциированные к.н. элементы pi определены однозначно,
вместе со своими кратностями mi , а это уже влечет однозначность
определения обратимого множителя u.)
  Подведем итог в форме следующего утверждения.
  Предложение 45.1. Всякий ненулевой элемент a факториаль-
ного кольца K однозначно, с точностью до порядка сомножителей,
представляется своим каноническим разложением вида (45.5).
  Доказательство см. выше. ¤

  Добавим, что выбор канонических представитетелей в классах ас-
социированности неразложимых элементов определяет выбор таких
представителей во всех (отличных от нулевого) классах. А именно:
представителем класса элементов, ассоциированных с элементом, за-
данным разложением (45.5), назначается элемент
                        a0 = pm 1 m2    ms
                              1 p2 ... ps                 (45.5а)
с единичным обратимым множителем (u = 1). В частности, канони-
ческим представителем класса обратимых элементов будет служить
единица 1 ∈ K.