Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 411 стр.

§ 45                     Факториальные кольца                                 411

  45.2. Свойства факториальных колец. Изучим теперь неко-
торые свойства факториальных колец, связанные с делимостью их
элементов.
  Ненулевые элементы будем представлять их каноническими раз-
ложениями. Для двух (или любого конечного числа) различных эле-
ментов кольца списки [вида (45.3)] к.н. множителей в их разложени-
ях будут, вообще говоря, различными, но эти списки можно "подо-
гнать" под один список (в него следует включить те к.н. элементы,
которые входят в разложение хотя бы одного из рассматриваемых
элементов).
  При этом придется разрешить некоторым кратностям принимать
нулевые значения (что будет свидетельствовать о том, что в разло-
жении данного элемента данный неразложимый множитель факти-
чески отсутствует).
  Пусть после подгонки списков к.н. множителей канонические раз-
ложения для ненулевых элементов a, b ∈ K имеют вид (45.5) и

                         b = vpl11 pl22 ... plss ; v ∈ K ∗ ,                 (45.6)

где, возможно, некоторые из кратностей обращаются в нуль. Тогда
легко получить каноническое разложение для произведения ab. (В
нем будет фигурировать обратимый множитель, равный uv, а крат-
ности неприводимых множителей сложатся.)
   Переходим теперь к изучению делимости элементов и к задаче
отыскания НОД и НОК в факториальных кольцах.
   Предложение 45.2. Пусть ненулевые элементы a и b факто-
риального кольца K заданы своими каноническими разложениями
(45.5) и (45.6). Тогда справедливы следующие утверждения.
   (1) Элемент a делит элемент b тогда и только тогда, когда для
любого номера i = 1, ..., s кратность mi не превосходит кратность li ,
или в формульной записи:

                    ( a | b ) ⇔ (∀i = 1, ..., s)(mi 6 li ).                  (45.7)

  (2) Любые два элемента a, b ∈ K имеют как наибольший об-
щий делитель d ∈ НОД(a, b), так и наименьшее общее кратное q ∈
НОК(a, b), которые (для ненулевых элементов) могут быть найдены
по формулам

            d = pk11 pk22 ... pks s ; ki = min(mi , li ); i = 1, ..., s;
                                                                             (45.8)
            q = pn1 1 pn2 2 ... pns s ; ni = max(mi , li ); i = 1, ..., s.