Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 413 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 45 Факториальные кольца 413
3. Прежде чем начинать доказательство третьего утверждения,
заметим, что идея воспользоваться предложением 44.2 (неразложи-
мость равносильна простоте — при выполнении условия Безу) не
проходит, поскольку факториальное кольцо не обязательно удовле-
творяет условию (Б). (Контрпример будет приведен в следующем
параграфе; см. п. 46.6.)
Пусть p — неразложимый элемент факториального кольца K. До-
кажем, что p прост.
Если p делит произведение двух элементов b · c, то найдется эле-
мент s ∈ K, такой, что p · s = b · c. Разложив элементы b, c, s на
неразложимые p
i
, q
j
, r
k
(i = 1, ..., n; j = 1, ..., m; k = 1, ..., l), получим
равенство
p · s
1
· ... · s
l
= p
1
· ... · p
n
· q
1
· ... · q
m
,
которое можно рассматривать как факт наличия двух разложений
одного и того же элемента на неразложимые множители.
Условие (Ф.2) влечет, во-первых, равенство 1 + s = n + m, а во-
вторых, попарную (при надлежащей перенумерации) ассоциирован-
ность неразложимых множителей в левой и правой частях.
В частности, элемент p ассоциирован либо с одним из p
i
(и тогда
он делит a), либо с одним из q
j
(и тогда он делит c).
Этим доказана простота элемента p. ¤
45.3. Достаточные условия факториальности кольца. Фа-
кториальность евклидовых колец. Теперь мы займемся выво-
дом некоторых условий на целостное кольцо K , выполнение которых
гарантирует его факториальность.
Таких условий будет два. Одно из них нам уже многократно
встречалось, начиная с п. 38.1. Это — условие Безу, здесь мы при-
ведем его в формульной записи:
(Б) (∀a, b ∈ K) (∃d, u, v ∈ K) [ ( d ∈ НОД(a, b) ) ∧ ( d = au + bv ) ].
Второе условие мы сформулируем ниже и будем называть его
условием Нетер [для ссылок будет использоваться обозначение (Н)]:
(Н) в кольце K не существует такой бесконечной последователь-
ности элементов {a
k
}
∞
k=0
, в которой каждый последующий элемент
a
k +1
является нетривиальным делителем (см. замечание 44.1) пре-
дыдущего элемента a
k
, т. е.
a
k+1
|a
k
; a
k+1
6∈ K
∗
; a
k+1
6∼ a
k
(k = 0, 1, 2, ... ). (45.9)
§ 45                      Факториальные кольца                             413

  3. Прежде чем начинать доказательство третьего утверждения,
заметим, что идея воспользоваться предложением 44.2 (неразложи-
мость равносильна простоте — при выполнении условия Безу) не
проходит, поскольку факториальное кольцо не обязательно удовле-
творяет условию (Б). (Контрпример будет приведен в следующем
параграфе; см. п. 46.6.)
  Пусть p — неразложимый элемент факториального кольца K. До-
кажем, что p прост.
  Если p делит произведение двух элементов b · c, то найдется эле-
мент s ∈ K, такой, что p · s = b · c. Разложив элементы b, c, s на
неразложимые pi , qj , rk (i = 1, ..., n; j = 1, ..., m; k = 1, ..., l), получим
равенство

                   p · s1 · ... · sl = p1 · ... · pn · q1 · ... · qm ,
которое можно рассматривать как факт наличия двух разложений
одного и того же элемента на неразложимые множители.
  Условие (Ф.2) влечет, во-первых, равенство 1 + s = n + m, а во-
вторых, попарную (при надлежащей перенумерации) ассоциирован-
ность неразложимых множителей в левой и правой частях.
  В частности, элемент p ассоциирован либо с одним из pi (и тогда
он делит a), либо с одним из qj (и тогда он делит c).
  Этим доказана простота элемента p. ¤
   45.3. Достаточные условия факториальности кольца. Фа-
кториальность евклидовых колец. Теперь мы займемся выво-
дом некоторых условий на целостное кольцо K, выполнение которых
гарантирует его факториальность.
   Таких условий будет два. Одно из них нам уже многократно
встречалось, начиная с п. 38.1. Это — условие Безу, здесь мы при-
ведем его в формульной записи:

  (Б) (∀a, b ∈ K) (∃d, u, v ∈ K) [ ( d ∈ НОД(a, b) ) ∧ ( d = au + bv ) ].

   Второе условие мы сформулируем ниже и будем называть его
условием Нетер [для ссылок будет использоваться обозначение (Н)]:
  (Н) в кольце K не существует такой бесконечной последователь-
ности элементов {ak }∞
                     k=0 , в которой каждый последующий элемент
ak+1 является нетривиальным делителем (см. замечание 44.1) пре-
дыдущего элемента ak , т. е.

         ak+1 | ak ; ak+1 6∈ K ∗ ; ak+1 6∼ ak (k = 0, 1, 2, ...).        (45.9)

Страницы