Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 414 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

414 Алгебра многочленов Гл. 6
Замечание 45.1. Оба приведенных выше условия, (Б) и (Н), до-
пускают более "научную" формулировку, в терминах так называе-
мых идеалов (и в частности, главных идеалов) в кольцах. (С такой
терминологией вы встретитесь, если обратитесь к уже упомянутым
учебникам [1, 3, 5, 7].)
Мы предпочли отложить введение "идеалистических абстракций"
и, следуя духу замечательного сочинения П. Нодена и Л. Китте (см.
ссылку в начале п. 41.1), привести более элементарные формулиров-
ки. (Кстати, в указанной книге вы сможете найти также мотивиров-
ки используемых названий: свойство Безу, свойство Нетер. Отметим
только, что наше условие (Н) является некоторой ослабленной фор-
мой широко употребительного в теории колец условия нетеровости,
честь открытия которого принадлежит Эмми Нетер, удивительной
женщине, имевшей редкую профессию "математик", обучавшей аб-
страктной алгебре молодых советских ученых в конце двадцатых
годов прошлого века.)
Предложение 45.3. Евклидовы кольца удовлетворяют условию
Нетер.
Доказательство. Пусть K — евклидово кольцо (см. определение
38.5) со следящей функцией ν. Из свойства монотонности этой функ-
ции вытекает, что если (ненулевые) элементы a, b ∈ K ассоциирова-
ны, то ν(a) = ν(b). Следовательно, если a является нетривиальным
делителем b (и в частности, a 6∼ b), то будет иметь место строгое
неравенство ν(a) < ν(b).
Отсюда и из неотрицательности значений ν можно заключить,
что не существует бесконечных последовательностей нетривиальных
делителей вида (45.9). ¤
Теорема 45.1. 1. Если в целостном кольце K выполнено условие
(Н), то в нем выполнено условие (Ф.1).
2. Выполнение условия (Б) влечет выполнение (Ф.2).
3. Кольцо, в котором выполняются оба условия, (Б) и (Н), явля-
ется факториальным.
4. Всякое евклидово кольцо факториально.
Доказательство. 1. Пусть выполнено условие Нетер. Докажем,
что всякий ненулевой и необратимый элемент кольца K разлагается
в произведение неразложимых элементов.
Предположим противное, т. е. предположим, что существует эле-
мент a
0
∈ K, ненулевой, необратимый и обладающий тем "плохим"
414                 Алгебра многочленов                    Гл. 6

   Замечание 45.1. Оба приведенных выше условия, (Б) и (Н), до-
пускают более "научную" формулировку, в терминах так называе-
мых идеалов (и в частности, главных идеалов) в кольцах. (С такой
терминологией вы встретитесь, если обратитесь к уже упомянутым
учебникам [1, 3, 5, 7].)
   Мы предпочли отложить введение "идеалистических абстракций"
и, следуя духу замечательного сочинения П. Нодена и Л. Китте (см.
ссылку в начале п. 41.1), привести более элементарные формулиров-
ки. (Кстати, в указанной книге вы сможете найти также мотивиров-
ки используемых названий: свойство Безу, свойство Нетер. Отметим
только, что наше условие (Н) является некоторой ослабленной фор-
мой широко употребительного в теории колец условия нетеровости,
честь открытия которого принадлежит Эмми Нетер, удивительной
женщине, имевшей редкую профессию "математик", обучавшей аб-
страктной алгебре молодых советских ученых в конце двадцатых
годов прошлого века.)
  Предложение 45.3. Евклидовы кольца удовлетворяют условию
Нетер.
   Доказательство. Пусть K — евклидово кольцо (см. определение
38.5) со следящей функцией ν. Из свойства монотонности этой функ-
ции вытекает, что если (ненулевые) элементы a, b ∈ K ассоциирова-
ны, то ν(a) = ν(b). Следовательно, если a является нетривиальным
делителем b (и в частности, a 6∼ b), то будет иметь место строгое
неравенство ν(a) < ν(b).
   Отсюда и из неотрицательности значений ν можно заключить,
что не существует бесконечных последовательностей нетривиальных
делителей вида (45.9). ¤
   Теорема 45.1. 1. Если в целостном кольце K выполнено условие
(Н), то в нем выполнено условие (Ф.1).
   2. Выполнение условия (Б) влечет выполнение (Ф.2).
   3. Кольцо, в котором выполняются оба условия, (Б) и (Н), явля-
ется факториальным.
   4. Всякое евклидово кольцо факториально.
   Доказательство. 1. Пусть выполнено условие Нетер. Докажем,
что всякий ненулевой и необратимый элемент кольца K разлагается
в произведение неразложимых элементов.
   Предположим противное, т. е. предположим, что существует эле-
мент a0 ∈ K, ненулевой, необратимый и обладающий тем "плохим"

Страницы