Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 416 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

416 Алгебра многочленов Гл. 6
Подставим полученное выражение в (45.9) и сократим (пользуясь
целостностью кольца K) это равенство на p
1
; получим:
p
2
· ... · p
k
= u
1
· q
2
· ... · q
k
· q
k+1
· ... · q
l
. (45.10a)
Рассуждая совершенно аналогично, мы найдем в правой части
(45.10a) элемент, ассоциированный с p
2
. Этим элементом не может
быть обратимый множитель u
1
; им будет один из оставшихся нераз-
ложимых множителей.
Сделаем (с помощью перенумерации) номер этого множителя рав-
ным 2 и представим его в виде q
2
= p
2
u
2
(u
2
∈ K
∗
); затем произведем
очередное сокращение; и т. д.
После k сокращений мы получим равенство
1 = u · q
k+1
· ... · q
l
; u = u
1
u
2
...u
k
∈ K
∗
, (45.11)
которое в случае k < l приведет к противоречию, поскольку в правой
части будет присутствовать хотя бы один неразложимый множитель,
а левая часть равняется единице.
Значит, 1) k = l и 2) неразложимые множители в правой части
(45.10), после подходящей перенумерации, оказываются ассоцииро-
ванными соответствующим множителям в левой части.
3. Третье утверждение теоремы следует из первых двух.
4. В евклидовом кольце выполняется как условие (Б), согласно
предложению 38.9, так и условие (Н), согласно предложению 45.3.
Таким образом, евклидовость кольца влечет его факториальность. ¤
45.4. Основная теорема арифметики
Теорема 45.2 (основная теорема арифметики, ОТАр). 1. Коль-
цо целых чисел факториально, т. е. всякое целое число, отличное от
0, 1, −1, разлагается на простые множители, причем такое разложе-
ние определено однозначно, с точностью до порядка сомножителей
и их знака.
2. Для любого a ∈ Z \ {0} однозначно, с точностью до порядка
сомножителей, определено каноническое разложение
a = up
m
1
1
p
m
2
2
... p
m
s
s
, (45.12)
где u = ± 1; p
i
— положительные простые числа (i = 1, ..., s; s > 0).
Доказательство. Первое утверждение теоремы следует из чет-
вертого утверждения теоремы 45.1, а второе — из предложения
45.1. ¤
416                       Алгебра многочленов                         Гл. 6

  Подставим полученное выражение в (45.9) и сократим (пользуясь
целостностью кольца K) это равенство на p1 ; получим:
           p2 · ... · pk = u1 · q2 · ... · qk · qk+1 · ... · ql .   (45.10a)
   Рассуждая совершенно аналогично, мы найдем в правой части
(45.10a) элемент, ассоциированный с p2 . Этим элементом не может
быть обратимый множитель u1 ; им будет один из оставшихся нераз-
ложимых множителей.
   Сделаем (с помощью перенумерации) номер этого множителя рав-
ным 2 и представим его в виде q2 = p2 u2 (u2 ∈ K ∗ ); затем произведем
очередное сокращение; и т. д.
   После k сокращений мы получим равенство
                1 = u · qk+1 · ... · ql ; u = u1 u2 ...uk ∈ K ∗ ,    (45.11)
которое в случае k < l приведет к противоречию, поскольку в правой
части будет присутствовать хотя бы один неразложимый множитель,
а левая часть равняется единице.
   Значит, 1) k = l и 2) неразложимые множители в правой части
(45.10), после подходящей перенумерации, оказываются ассоцииро-
ванными соответствующим множителям в левой части.
   3. Третье утверждение теоремы следует из первых двух.
   4. В евклидовом кольце выполняется как условие (Б), согласно
предложению 38.9, так и условие (Н), согласно предложению 45.3.
Таким образом, евклидовость кольца влечет его факториальность. ¤


  45.4. Основная теорема арифметики
   Теорема 45.2 (основная теорема арифметики, ОТАр). 1. Коль-
цо целых чисел факториально, т. е. всякое целое число, отличное от
0, 1, −1, разлагается на простые множители, причем такое разложе-
ние определено однозначно, с точностью до порядка сомножителей
и их знака.
   2. Для любого a ∈ Z \ {0} однозначно, с точностью до порядка
сомножителей, определено каноническое разложение
                              a = upm 1 m2    ms
                                    1 p2 ... ps ,                    (45.12)
где u = ±1; pi — положительные простые числа (i = 1, ..., s; s > 0).
   Доказательство. Первое утверждение теоремы следует из чет-
вертого утверждения теоремы 45.1, а второе — из предложения
45.1. ¤

Страницы