Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 417 стр.

§ 46     Кольцо многочленов над факториальным кольцом           417

   45.5. Факториальность кольца многочленов над полем
  Теорема 45.3. 1. Кольцо P [x] многочленов над полем P факто-
риально, т. е. всякий многочлен положительной степени разлагается
на неприводимые множители, причем такое разложение определено
однозначно, с точностью до порядка сомножителей и их пропорцио-
нальности.
  2. Для любого f (x) ∈ P [x] \ {0} однозначно, с точностью до по-
рядка сомножителей, определено каноническое разложение

                f (x) = a0 p1 (x)m1 p2 (x)m2 ... ps (x)ms ,   (45.13)

где a0 есть старший коэффициент многочлена f (x); pi (x) — нормали-
зованные неприводимые многочлены над полем P (i = 1, ..., s; s > 0).
   Доказательство. Следует повторить ту же фразу, что приведена
в качестве доказательства предыдущей теоремы. (При переходе к
другому кольцу меняются только описания обратимых, неразложи-
мых и ассоциированных элементов.) ¤



       § 46. Факториальность кольца многочленов
              над факториальным кольцом.
               Неприводимые многочлены
               над полем Q и над кольцом Z

   46.1. Содержание многочлена над факториальным коль-
цом. Примитивные многочлены. В настоящем параграфе мы
будем изучать кольцо K = L[x] многочленов над целостным коль-
цом L. Мы уже обращались к этому вопросу в замечании 44.5, в
котором (пока без строгого обоснования) были описаны неразложи-
мые элементы в кольце L[x].
   Сейчас мы начнем с того, что констатируем: можно ожидать, что
в кольце многочленов L[x] получится "хорошая" теория делимости,
только если такая теория уже имеется в кольце коэффициентов L.
   В связи с этим мы с самого начала параграфа предполагаем, что
кольцо L является факториальным (см. определение 45.1).
   Далее, в предыдущих параграфах мы свободно переходили от од-
ной формы записи многочленов (в порядке возрастания степеней) к
другой (в порядке убывания степеней). Первая форма более удобна