Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 419 стр.

§ 46   Кольцо многочленов над факториальным кольцом               419

   Определение 46.2. Многочлен f (x) ∈ L[x] называется прими-
тивным, если его содержание cont(f ) представляет собой класс об-
ратимых элементов кольца L, т. е. если коэффициенты многочле-
на f (x) являются взаимно простыми, или, что равносильно, если
1 ∈ cont(f )].
  Замечание 46.2. Ясно, что многочлен, ассоциированный с прими-
тивным, сам является таковым.
  Очевидно также, что всякий многочлен можно представить в виде

                      f (x) = d · f ◦ (x); d ∈ cont(f ),         (46.3)

где многочлен

                f ◦ (x) = b0 xn + b1 xn−1 + ... + bn−1 x + bn    (46.4)

с коэффициентами bk = ak /d (k = 0, ..., n) является примитивным.
   И обратно, из наличия представления

                          f (x) = с · g(x); с ∈ L,               (46.5)

где многочлен g(x) примитивен, следует [в силу того же свойства
(38.22)], что

                                с ∈ cont(f ).                    (46.6)

   Не только содержание d, но и примитивный многочлен f ◦ (x) в
формуле (46.3) определяется с точностью до ассоциированности.
   Другими словами, если для двух примитивных многочленов, g(x)
и g1 (x), над кольцом L и двух скаляров, с и с1 , из кольца L справед-
ливо равенство
                      f (x) = с · g(x) = с1 · g1 (x),           (46.5a)

то как скаляры, так и примитивные многочлены ассоциированы:
         с ∼ с1 (в кольце L) и g(x) ∼ g1 (x) (в кольце L[x]).
  В самом деле, как c, так и c1 должны принадлежать cont(f ) и,
следовательно, должны быть ассоциированы, т. е. найдется обрати-
мый элемент u ∈ L∗ , такой, что c1 = cu. Сокращая равенство (46.5а)
на c 6= 0, получим g1 (x) = ug(x).