Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 420 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

420 Алгебра многочленов Гл. 6
46.2. Неразложимые элементы в кольце многочленов над
факториальным кольцом. Вспомним (см. замечание 44.5), что
неприводимость над кольцом L определяется по тому же принципу,
что и над полем: f (x) будет неприводимым над L, если его нельзя
представить в виде произведения двух многочленов положительной
степени с коэффициентами из L. (Такая неприводимость не равно-
сильна неразложимости f(x) как элемента L[x].)
В следующем предложении описываются все неразложимые эле-
менты в кольце L[x].
Предложение 46.1. Многочлен f(x) с коэффициентами из фак-
ториального кольца L является неразложимым элементом кольца
L[x] тогда и только тогда, когда
— либо f(x) = f
0
является скаляром, неразложимым в кольце L;
— либо deg(f(x)) = n > 0 и f(x) является примитивным неприво-
димым многочленом над L.
Доказательство. В кольце многочленов L[x] имеются ненулевые
необратимые элементы двух типов: необратимые скаляры и много-
члены положительной степени.
Необратимые скаляры будут неразложимы как многочлены тогда
и только тогда, когда они будут неразложимы в кольце коэффици-
ентов. [Это с очевидностью вытекает из правила "степень произве-
дения": см. формулу (36.12) и замечание 36.12.]
Для неразложимости многочлена положительной степени необхо-
дима (но не достаточна) его неприводимость.
Если неприводимый многочлен имеет содержание, являющееся
необратимым элементом кольца L, то формула (46.3) будет свиде-
тельствовать о разложимости этого многочлена.
Если же многочлен f(x) является неприводимым и примитивным,
то он неразложим. В самом деле, если бы он представлялся в виде
произведения двух необратимых элементов в кольце L[x], то один из
этих элементов обязательно был бы необратимым скаляром (против-
ное противоречило бы неприводимости данного многочлена). А это
значит, что получилось бы разложение (46.5), из которого, в силу
замечания 46.2, вытекало бы утверждение (46.6), противоречащее
(поскольку скаляр c необратим) примитивности f(x). ¤
46.3. Лемма Гаусса. Мы в очередной раз встречаемся с Карлом
Фридрихом Гауссом. Сейчас будет доказано предложение (по тради-
ции именуемое леммой Гаусса), выражающее ключевое для теории
420                 Алгебра многочленов                    Гл. 6

   46.2. Неразложимые элементы в кольце многочленов над
факториальным кольцом. Вспомним (см. замечание 44.5), что
неприводимость над кольцом L определяется по тому же принципу,
что и над полем: f (x) будет неприводимым над L, если его нельзя
представить в виде произведения двух многочленов положительной
степени с коэффициентами из L. (Такая неприводимость не равно-
сильна неразложимости f (x) как элемента L[x].)
   В следующем предложении описываются все неразложимые эле-
менты в кольце L[x].

  Предложение 46.1. Многочлен f (x) с коэффициентами из фак-
ториального кольца L является неразложимым элементом кольца
L[x] тогда и только тогда, когда
  — либо f (x) = f0 является скаляром, неразложимым в кольце L;
  — либо deg(f (x)) = n > 0 и f (x) является примитивным неприво-
димым многочленом над L.

   Доказательство. В кольце многочленов L[x] имеются ненулевые
необратимые элементы двух типов: необратимые скаляры и много-
члены положительной степени.
   Необратимые скаляры будут неразложимы как многочлены тогда
и только тогда, когда они будут неразложимы в кольце коэффици-
ентов. [Это с очевидностью вытекает из правила "степень произве-
дения": см. формулу (36.12) и замечание 36.12.]
   Для неразложимости многочлена положительной степени необхо-
дима (но не достаточна) его неприводимость.
   Если неприводимый многочлен имеет содержание, являющееся
необратимым элементом кольца L, то формула (46.3) будет свиде-
тельствовать о разложимости этого многочлена.
   Если же многочлен f (x) является неприводимым и примитивным,
то он неразложим. В самом деле, если бы он представлялся в виде
произведения двух необратимых элементов в кольце L[x], то один из
этих элементов обязательно был бы необратимым скаляром (против-
ное противоречило бы неприводимости данного многочлена). А это
значит, что получилось бы разложение (46.5), из которого, в силу
замечания 46.2, вытекало бы утверждение (46.6), противоречащее
(поскольку скаляр c необратим) примитивности f (x). ¤

  46.3. Лемма Гаусса. Мы в очередной раз встречаемся с Карлом
Фридрихом Гауссом. Сейчас будет доказано предложение (по тради-
ции именуемое леммой Гаусса), выражающее ключевое для теории

Страницы