Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 421 стр.

§ 46      Кольцо многочленов над факториальным кольцом                        421

делимости свойство примитивных многочленов и связанное с ним
свойство содержания.
  Предложение 46.2. 1. Произведение двух примитивных много-
членов (над факториальным кольцом L) также является примитив-
ным многочленом.
  2. Для любых двух многочленов f (x), g(x) ∈ L[x] справедливо
утверждение:

        ( d ∈ cont(f ) ) ∧ ( c ∈ cont(g) ) ⇒ ( d · c ∈ cont(f · g) ).        (46.7)



  Доказательство. 1. Пусть многочлен f (x) степени n, заданный
формулой (46.1), и многочлен g(x) степени m, заданный формулой
                ∞
                X
       g(x) =         gl xl ; gl ∈ L (l > 0); gm 6= 0; (∀l > m) (gl = 0),    (46.8)
                l=0

являются примитивными.
  Рассмотрим многочлен-произведение h(x) = f (x)g(x), который
также представим аналогичной формулой
                      ∞
                      X
          h(x) =            hs xs ; hn+m 6= 0; (∀s > n + m) (hs = 0),        (46.9)
                      s=0

где коэффициенты hs (s > 0) определяются [в соответствии с (36.10)]
формулами

                      hs = f0 gs + f1 gs−1 + ... + fs−1 g1 + fs g0 .        (46.10)

   (Напомним, что если номер какого-либо коэффициента превыша-
ет степень многочлена, то этот коэффициент считается равным ну-
лю.) Надо доказать, что многочлен (46.9) является примитивным.
   Предположим противное. Тогда содержание cont(f ) является не-
обратимым и ненулевым элементом кольца L. В силу факториаль-
ности L, этот элемент может быть разложен в произведение нераз-
ложимых элементов. Возьмем любой из этих элементов, обозначим
его p.
   В факториальном кольце всякий неразложимый элемент является
простым (см. третье утверждение предложения 45.2), поэтому эле-
мент p будет являться простым делителем всех коэффициентов hs .