Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 422 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

422 Алгебра многочленов Гл. 6
В то же время из примитивности многочлена f(x) следует, что p не
является делителем всех коэффициентов f
k
. Выберем первый по но-
меру коэффициент, скажем f
k
0
(0 6 k
0
6 n), который не делится на
p; все предыдущие коэффициенты f
k
(k = 0, ..., k
0
−1) будут делиться
на p. Аналогичным образом для многочлена g(x) можно будет вы-
брать коэффициент g
l
0
(0 6 l
0
6 m) такой, что p |g
l
(l = 0, ..., l
0
− 1)
и p - g
l
0
.
Рассмотрим теперь коэффициент h
s
при s = k
0
+ l
0
. Распишем
для такого s формулу (46.10) несколько подробнее:
h
k
0
+l
0
= f
0
g
k
0
+l
0
+ f
1
g
k
0
+l
0
−1
+ ... + f
k
0
−1
g
l
0
+1
+
+ f
k
0
g
l
0
+ f
k
0
+1
g
l
0
−1
+ ... + f
k
0
+l
0
−1
g
1
+ f
k
0
+l
0
g
0
. (46.11)
По предположению левая часть формулы (46.11) делится на p.
В правой части этой формулы, в силу описанного выше выбора
номеров k
0
и l
0
, все члены, кроме выделенного, тоже делятся на p.
По свойствам отношения делимости, выделенный член также обя-
зан делиться на p. Следовательно, в силу простоты p, хотя бы один
из коэффициентов, f
k
0
или g
l
0
, должен делиться на p, что противо-
речит их построению. Первое утверждение предложения доказано.
2. Второе утверждение получается следующим образом. Вынесем
из каждого многочлена его содержание [по типу формулы (46.3)]:
f(x) = df
◦
(x), g(x) = cg
◦
(x);
затем перемножим эти формулы; получим:
h(x) = ( dc ) h
◦
(x), (46.12)
где обозначено
h
◦
(x) = f
◦
(x)g
◦
(x). (46.13)
По (уже доказанному) первому утверждению, многочлен (46.13)
является примитивным.
В силу замечания 46.2, формула (46.12) влечет тот факт, что ска-
ляр dc принадлежит cont(fg). Таким образом, импликация (46.7)
справедлива. ¤
Замечание 46.3. Многие математики любят писать учебники на-
рочито небрежно, выражаясь порой нестрого, но рассчитывая на
422                       Алгебра многочленов                                Гл. 6

   В то же время из примитивности многочлена f (x) следует, что p не
является делителем всех коэффициентов fk . Выберем первый по но-
меру коэффициент, скажем fk0 (0 6 k0 6 n), который не делится на
p; все предыдущие коэффициенты fk (k = 0, ..., k0 −1) будут делиться
на p. Аналогичным образом для многочлена g(x) можно будет вы-
брать коэффициент gl0 (0 6 l0 6 m) такой, что p | gl (l = 0, ..., l0 − 1)
и p - gl0 .
   Рассмотрим теперь коэффициент hs при s = k0 + l0 . Распишем
для такого s формулу (46.10) несколько подробнее:

  hk0 +l0 = f0 gk0 +l0 + f1 gk0 +l0 −1 + ... + fk0 −1 gl0 +1 +
           + fk0 gl0 + fk0 +1 gl0 −1 + ... + fk0 +l0 −1 g1 + fk0 +l0 g0 .   (46.11)

   По предположению левая часть формулы (46.11) делится на p.
   В правой части этой формулы, в силу описанного выше выбора
номеров k0 и l0 , все члены, кроме выделенного, тоже делятся на p.
   По свойствам отношения делимости, выделенный член также обя-
зан делиться на p. Следовательно, в силу простоты p, хотя бы один
из коэффициентов, fk0 или gl0 , должен делиться на p, что противо-
речит их построению. Первое утверждение предложения доказано.
   2. Второе утверждение получается следующим образом. Вынесем
из каждого многочлена его содержание [по типу формулы (46.3)]:

                        f (x) = df ◦ (x), g(x) = cg ◦ (x);

затем перемножим эти формулы; получим:

                              h(x) = ( dc ) h◦ (x),                         (46.12)

где обозначено
                              h◦ (x) = f ◦ (x)g ◦ (x).                      (46.13)
  По (уже доказанному) первому утверждению, многочлен (46.13)
является примитивным.
  В силу замечания 46.2, формула (46.12) влечет тот факт, что ска-
ляр dc принадлежит cont(f g). Таким образом, импликация (46.7)
справедлива. ¤
  Замечание 46.3. Многие математики любят писать учебники на-
рочито небрежно, выражаясь порой нестрого, но рассчитывая на

Страницы