Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 424 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

424 Алгебра многочленов Гл. 6
(При строгом изложении здесь следовало бы говорить не о равен-
стве, а об эквивалентности пар, рассматривать классы эквивалент-
ности... Но как раз этого мы обещали не делать.)
Вполне школьным образом определяются алгебраические дейст-
вия над дробями:
a
b
+
c
d
=
ad + bc
bd
;
a
b
·
c
d
=
ac
bd
.
(Необходима проверка корректности этих определений.)
Далее (без особых проблем) проверяются все девять аксиом по-
ля и описывается вложение кольца K в поле F : элементу a ∈ K
сопоставляется дробь
a
1
.
Затем устанавливается свойство минимальности построенного
поля F, состоящее в том, что всякое вложение кольца K в произволь-
ное поле F
0
продолжается до вложения поля F в F
0
, и в заключение
доказывается, что такое минимальное поле, в которое вкладывает-
ся данное целостное кольцо, определено однозначно, с точностью до
изоморфизма.
Этим завершается процесс конструирования поля частных.
Замечание 46. 4. Для кольца Z поле частных совпадает с полем
Q; для кольца Z[i] целых гауссовых чисел (см. пример 38.5) — с полем
Q[i] рациональных гауссовых чисел [вида z =
a+bi
c+di
(a, b, c, d ∈ Z;
c
2
+ d
2
6= 0), что легко сводится к виду z = u + vi (u, v ∈ Q)].
Большой интерес представляет поле частных для кольца K = P [x]
многочленов над полем P. В этом случае поле частных, обозначаемое
F = P (x), будет состоять из рациональных дробей вида
f(x)
g(x)
, где
числитель и знаменатель являются многочленами.
46.5. Сохранение неприводимости многочленов над фак-
ториальным кольцом при переходе к полю частных. Всякий
многочлен f(x) с коэффициентами из целостного кольца L можно
рассматривать также над полем частных F, соответствующим коль-
цу L.
Далее всюду предполагается, что L — факториальное кольцо.
Рассмотрим многочлен
f(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ ... + a
n−1
x + a
n
;
a
i
∈ F (i = 0, ..., n); a
0
6= 0 (46.14)
с коэффициентами из поля F. (Мы возвращаемся к записи много-
членов по убыванию степеней.)
424                     Алгебра многочленов                          Гл. 6

   (При строгом изложении здесь следовало бы говорить не о равен-
стве, а об эквивалентности пар, рассматривать классы эквивалент-
ности... Но как раз этого мы обещали не делать.)
   Вполне школьным образом определяются алгебраические дейст-
вия над дробями:
                      a  c  ad + bc a c ac
                        + =        ; · = .
                      b  d    bd    b d bd
   (Необходима проверка корректности этих определений.)
   Далее (без особых проблем) проверяются все девять аксиом по-
ля и описывается вложение кольца K в поле F : элементу a ∈ K
сопоставляется дробь a1 .
   Затем устанавливается свойство минимальности построенного
поля F, состоящее в том, что всякое вложение кольца K в произволь-
ное поле F 0 продолжается до вложения поля F в F 0 , и в заключение
доказывается, что такое минимальное поле, в которое вкладывает-
ся данное целостное кольцо, определено однозначно, с точностью до
изоморфизма.
   Этим завершается процесс конструирования поля частных.
   Замечание 46. 4. Для кольца Z поле частных совпадает с полем
Q; для кольца Z[i] целых гауссовых чисел (см. пример 38.5) — с полем
Q[i] рациональных гауссовых чисел [вида z = a+bi c+di (a, b, c, d ∈ Z;
 2    2
c + d 6= 0), что легко сводится к виду z = u + vi (u, v ∈ Q)].
   Большой интерес представляет поле частных для кольца K = P [x]
многочленов над полем P. В этом случае поле частных, обозначаемое
F = P (x), будет состоять из рациональных дробей вида fg(x)    (x)
                                                                   , где
числитель и знаменатель являются многочленами.
  46.5. Сохранение неприводимости многочленов над фак-
ториальным кольцом при переходе к полю частных. Всякий
многочлен f (x) с коэффициентами из целостного кольца L можно
рассматривать также над полем частных F, соответствующим коль-
цу L.
  Далее всюду предполагается, что L — факториальное кольцо.
  Рассмотрим многочлен
  f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an ;
                                     ai ∈ F (i = 0, ..., n); a0 6= 0 (46.14)
с коэффициентами из поля F. (Мы возвращаемся к записи много-
членов по убыванию степеней.)

Страницы