Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 426 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

426 Алгебра многочленов Гл. 6
Предложение 46.3. Многочлен f(x) над факториальным коль-
цом L неприводим над этим кольцом тогда и только тогда, когда он
неприводим над полем частных F кольца L.
Доказательство. В одну сторону утверждение предложения оче-
видно: если многочлен f(x) ∈ L[x] неприводим над F, то он непри-
водим и над L.
Докажем обратное утверждение. Пусть многочлен f(x) неприво-
дим над кольцом L. Предположим, что над полем F он окажется
приводимым. Тогда будет иметь место разложение f(x) в произ-
ведение двух многочленов g(x) и h(x), положительных степеней, с
коэффициентами из F:
f(x) = g(x)h(x).
Многочлен f(x) ∈ L[x] мы представим в виде (46.3), а многочлены
g(x) и h(x) — в виде (46.19):
d f
◦
(x) =
s
t
g
◦
(x) ·
r
v
h
◦
(x),
где d, s, t, r, v — ненулевые элементы из кольца L; f
◦
(x), g
◦
(x) и
h
◦
(x) — примитивные многочлены над L.
Домножая последнюю формулу на произведение tv, получим ра-
венство
(dtv) · f
◦
(x) = (sr) · ( g
◦
(x)h
◦
(x) ). (46.20)
В правой части (46.20) фигурирует произведение примитивных
многочленов, само являющееся, в силу леммы Гаусса (см. предложе-
ние 46.2), примитивным многочленом.
Мы оказываемся в условиях замечания 46.2 [см. формулу (46.5а)]
и можем сделать вывод:
f
◦
(x) ∼ g
◦
(x)h
◦
(x). (46.21)
Формула (46.21) означает, что многочлен f
◦
(x) ассоциирован (над
L) с приводимым (над L) многочленом и, следовательно, сам приво-
дим. Значит, и исходный многочлен f(x) приводим над L. Противо-
речие. В другую сторону предложение также доказано. ¤
46.6. Факториальность кольца многочленов над факто-
риальным кольцом. Сейчас мы докажем теорему, существенно
обобщающую теорему 45.3: окажутся факториальными не только
кольца многочленов над полями, но и кольца многочленов над фак-
ториальными кольцами коэффициентов.
426                   Алгебра многочленов                        Гл. 6

  Предложение 46.3. Многочлен f (x) над факториальным коль-
цом L неприводим над этим кольцом тогда и только тогда, когда он
неприводим над полем частных F кольца L.
  Доказательство. В одну сторону утверждение предложения оче-
видно: если многочлен f (x) ∈ L[x] неприводим над F, то он непри-
водим и над L.
  Докажем обратное утверждение. Пусть многочлен f (x) неприво-
дим над кольцом L. Предположим, что над полем F он окажется
приводимым. Тогда будет иметь место разложение f (x) в произ-
ведение двух многочленов g(x) и h(x), положительных степеней, с
коэффициентами из F :
                           f (x) = g(x)h(x).
   Многочлен f (x) ∈ L[x] мы представим в виде (46.3), а многочлены
g(x) и h(x) — в виде (46.19):
                                     s          r
                        d f ◦ (x) = g ◦ (x) · h◦ (x),
                                     t          v
где d, s, t, r, v — ненулевые элементы из кольца L; f ◦ (x), g ◦ (x) и
h◦ (x) — примитивные многочлены над L.
   Домножая последнюю формулу на произведение tv, получим ра-
венство
                    (dtv) · f ◦ (x) = (sr) · ( g ◦ (x)h◦ (x) ). (46.20)
  В правой части (46.20) фигурирует произведение примитивных
многочленов, само являющееся, в силу леммы Гаусса (см. предложе-
ние 46.2), примитивным многочленом.
  Мы оказываемся в условиях замечания 46.2 [см. формулу (46.5а)]
и можем сделать вывод:
                         f ◦ (x) ∼ g ◦ (x)h◦ (x).               (46.21)
  Формула (46.21) означает, что многочлен f ◦ (x) ассоциирован (над
L) с приводимым (над L) многочленом и, следовательно, сам приво-
дим. Значит, и исходный многочлен f (x) приводим над L. Противо-
речие. В другую сторону предложение также доказано. ¤
  46.6. Факториальность кольца многочленов над факто-
риальным кольцом. Сейчас мы докажем теорему, существенно
обобщающую теорему 45.3: окажутся факториальными не только
кольца многочленов над полями, но и кольца многочленов над фак-
ториальными кольцами коэффициентов.

Страницы