Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 425 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 46 Кольцо многочленов над факториальным кольцом 425
Коэффициенты f(x) представляются дробями, описанными в пре-
дыдущем пункте:
a
i
=
p
i
q
i
; p
i
, q
i
∈ L; q
i
6= 0 (i = 0, ..., n); p
0
6= 0. (46.15)
Факториальность кольца L позволяет привести эти дроби к обще-
му знаменателю
q ∈ НОК(q
0
, q
1
, ..., q
n
), (46.16)
т. е. представить коэффициенты в виде
a
i
=
p
0
i
q
; p
0
i
=
q
q
i
∈ L. (46.17)
Общий скалярный множитель 1/q вынесем за скобку; в скобке
останется многочлен той же степени n, что и исходный, с коэффи-
циентами из кольца L:
f(x) =
1
q
(p
0
0
x
n
+ p
0
1
x
n−1
+ ... + p
0
n−1
x + p
0
n
). (46.18)
Из многочлена в скобках можно [по принципу формулы (46.3)]
вынести его содержание
p ∈ НОД(p
0
0
, p
0
1
, ..., p
0
n−1
, p
0
n
),
после чего мы придем к представлению исходного многочлена в виде
f(x) =
p
q
f
◦
(x), (46.19)
где многочлен f
◦
(x) ∈ L [x], с коэффициентами p
0
i
/p (i = 0, ..., n),
является примитивным.
[Теперь самое время сообразить, что проведенные выше выклад-
ки фактически повторяют (в более общей ситуации) преобразования,
производившиеся в начале п. 42.1 для случая L = Z; F = Q. Срав-
ните формулы (46.19) и (42.4); различаются лишь обозначения.]
Формула (46.19) означает, в частности, что над полем F много-
член f(x) (с коэффициентами из F ) ассоциирован с примитивным
многочленом f
◦
(x) (с коэффициентами из L).
Следовательно, вопрос о неприводимости над полем F многочлена
с коэффициентами из F сводится к вопросу о неприводимости (тоже
над F ) многочлена с коэффициентами из кольца L.
Поскольку ясно, что всякий многочлен над кольцом L можно рас-
сматривать над (содержащим это кольцо) полем частных F, то воз-
никает проблема: выяснить, как связана неприводимость над L для
многочлена f(x) ∈ L[x] с его неприводимостью над F.
Ответ дает следующее
§ 46   Кольцо многочленов над факториальным кольцом              425

  Коэффициенты f (x) представляются дробями, описанными в пре-
дыдущем пункте:
            pi
       ai = ; pi , qi ∈ L; qi 6= 0 (i = 0, ..., n); p0 6= 0. (46.15)
            qi
  Факториальность кольца L позволяет привести эти дроби к обще-
му знаменателю
                       q ∈ НОК(q0 , q1 , ..., qn ),          (46.16)
т. е. представить коэффициенты в виде
                                 p0i 0     q
                          ai = ; pi =         ∈ L.            (46.17)
                                 q         qi
   Общий скалярный множитель 1/q вынесем за скобку; в скобке
останется многочлен той же степени n, что и исходный, с коэффи-
циентами из кольца L:
                 1
          f (x) = (p00 xn + p01 xn−1 + ... + p0n−1 x + p0n ). (46.18)
                 q
   Из многочлена в скобках можно [по принципу формулы (46.3)]
вынести его содержание
                    p ∈ НОД(p00 , p01 , ..., p0n−1 , p0n ),
после чего мы придем к представлению исходного многочлена в виде
                                  p
                           f (x) = f ◦ (x),                 (46.19)
                                  q
где многочлен f ◦ (x) ∈ L[x], с коэффициентами p0i /p (i = 0, ..., n),
является примитивным.
   [Теперь самое время сообразить, что проведенные выше выклад-
ки фактически повторяют (в более общей ситуации) преобразования,
производившиеся в начале п. 42.1 для случая L = Z; F = Q. Срав-
ните формулы (46.19) и (42.4); различаются лишь обозначения.]
   Формула (46.19) означает, в частности, что над полем F много-
член f (x) (с коэффициентами из F ) ассоциирован с примитивным
многочленом f ◦ (x) (с коэффициентами из L).
   Следовательно, вопрос о неприводимости над полем F многочлена
с коэффициентами из F сводится к вопросу о неприводимости (тоже
над F ) многочлена с коэффициентами из кольца L.
   Поскольку ясно, что всякий многочлен над кольцом L можно рас-
сматривать над (содержащим это кольцо) полем частных F, то воз-
никает проблема: выяснить, как связана неприводимость над L для
многочлена f (x) ∈ L[x] с его неприводимостью над F.
   Ответ дает следующее

Страницы