Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 427 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 46 Кольцо многочленов над факториальным кольцом 427
Теорема 46.1. Кольцо L[x] многочленов над любым фактори-
альным кольцом L факториально.
Доказательство. Итак, в кольце коэффициентов L предполага-
ются выполненными условия (Ф.1) и (Ф.2) [см. п. 45.1]. Докажем,
что эти условия выполняются также и в L[x].
1. Убедимся в выполнении (Ф.1). Рассмотрим ненулевой и необ-
ратимый элемент f(x) ∈ L[x]. Доказательство проведем индукцией
по степени n = deg(f(x)).
Если n = 0, т. е. f(x) = f
0
есть ненулевой и необратимый скаляр,
то он разлагается (в кольце L) в произведение неразложимых (в L
и, следовательно, в L[x]) скаляров.
Пусть теперь n > 0 и для всех многочленов степени меньшей n
существует разложение на неразложимые множители.
Рассмотрим многочлен f(x) степени n. Представим этот много-
член формулой (46.3), выделив в нем его содержание d ∈ cont(f) и
примитивный многочлен f
◦
(x).
Если многочлен f
◦
(x) является неприводимым над L, то он будет
(по предложению 46.1) неразложимым элементом в L[x]. Тогда, раз-
лагая d на неразложииые скаляры, мы получим разложение f(x) на
неразложимые элементы.
Если же многочлен f
◦
(x) приводим, то он разлагается в произве-
дение двух многочленов, степень каждого из которых положительна
и меньше n. По предположению индукции, каждый из этих много-
членов допускает разложение на неразложимые множители. Кроме
того, содержание d также разложимо на неразложимые скаляры. В
итоге получится разложение на неразложимые множители для f(x).
Свойство (Ф.1) доказано.
2. Переходим к доказательству (Ф.2). Пусть имеются два разло-
жения на неразложимые элементы для одного и того же многочлена
f(x) ∈ L[x]:
f(x) = a
1
a
2
...a
k
p
1
(x)p
2
(x)...p
s
(x) = b
1
b
2
...b
l
q
1
(x)q
2
(x)...q
t
(x), (46.22)
где участвуют неразложимые скаляры
a
1
, a
2
, ..., a
k
; b
1
, b
2
, ..., b
l
∈ L
и неприводимые и примитивные многочлены положительной степени
p
1
(x), p
2
(x), ..., p
s
(x); q
1
(x), q
2
(x), ..., q
t
(x) ∈ L[x].
§ 46     Кольцо многочленов над факториальным кольцом                            427

  Теорема 46.1. Кольцо L[x] многочленов над любым фактори-
альным кольцом L факториально.
   Доказательство. Итак, в кольце коэффициентов L предполага-
ются выполненными условия (Ф.1) и (Ф.2) [см. п. 45.1]. Докажем,
что эти условия выполняются также и в L[x].
   1. Убедимся в выполнении (Ф.1). Рассмотрим ненулевой и необ-
ратимый элемент f (x) ∈ L[x]. Доказательство проведем индукцией
по степени n = deg(f (x)).
   Если n = 0, т. е. f (x) = f0 есть ненулевой и необратимый скаляр,
то он разлагается (в кольце L) в произведение неразложимых (в L
и, следовательно, в L[x]) скаляров.
   Пусть теперь n > 0 и для всех многочленов степени меньшей n
существует разложение на неразложимые множители.
   Рассмотрим многочлен f (x) степени n. Представим этот много-
член формулой (46.3), выделив в нем его содержание d ∈ cont(f ) и
примитивный многочлен f ◦ (x).
   Если многочлен f ◦ (x) является неприводимым над L, то он будет
(по предложению 46.1) неразложимым элементом в L[x]. Тогда, раз-
лагая d на неразложииые скаляры, мы получим разложение f (x) на
неразложимые элементы.
   Если же многочлен f ◦ (x) приводим, то он разлагается в произве-
дение двух многочленов, степень каждого из которых положительна
и меньше n. По предположению индукции, каждый из этих много-
членов допускает разложение на неразложимые множители. Кроме
того, содержание d также разложимо на неразложимые скаляры. В
итоге получится разложение на неразложимые множители для f (x).
   Свойство (Ф.1) доказано.
   2. Переходим к доказательству (Ф.2). Пусть имеются два разло-
жения на неразложимые элементы для одного и того же многочлена
f (x) ∈ L[x]:

 f (x) = a1 a2 ...ak p1 (x)p2 (x)...ps (x) = b1 b2 ...bl q1 (x)q2 (x)...qt (x), (46.22)

где участвуют неразложимые скаляры

                          a1 , a2 , ..., ak ; b1 , b2 , ..., bl ∈ L

и неприводимые и примитивные многочлены положительной степени

            p1 (x), p2 (x), ..., ps (x); q1 (x), q2 (x), ..., qt (x) ∈ L[x].

Страницы