Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 429 стр.

§ 46    Кольцо многочленов над факториальным кольцом                               429

множители левой части будут ассоциированы соответствующим мно-
жителям правой части.
   Но будем внимательны, эти ассоциированности имеют место уже
над F, т. е. найдутся такие (ненулевые) элементы ri , vi ∈ L (где
i = 1, ..., s), что
                                  ri
                         pi (x) =    qi (x).
                                  vi
   Последнее равенство можно, домножив на vi , привести к виду

                                 vi pi (x) = ri qi (x).                          (46.26)

  Снова оказываемся (в силу примитивности участвующих в этом
равенстве многочленов) в условиях замечания 46.2 и приходим к
выводу
                    pi (x) ∼ qi (x); i = 1, ..., s.     (46.27)
  Это уже будут ассоциированности над L, именно те, которые тре-
бовалось установить. Доказательство свойства (Ф.2) завершено.
  Теорема доказана полностью. ¤
   Пример 46.1. Применяя теорему 46.1 в случае кольца L = Z,
мы приходим к выводу, что кольцо Z[x] многочленов с целыми ко-
эффициентами факториально.
   Будет интересным заметить, что это кольцо не удовлетворяет
условию Безу (Б): хотя в этом кольце (как во всяком факториаль-
ном) любые два элемента имеют НОД, линейное представление для
НОД, вообще говоря, отсутствует.
   В самом деле, элементы 2 и x, очевидно, взаимно просты. (Содер-
жание многочлена x равно 1.) Однако единицу нельзя представить
в виде
                        1 = 2u(x) + xv(x).
  Действительно, свободный член в правой части этого равенства
должен быть четным, а в левой части нет ничего, кроме свободного
члена, равного 1.
   Пример 46.2. Вторым важнейшим следствием теоремы 46.1 бу-
дет факториальность колец многочленов от нескольких переменных
(над факториальным кольцом коэффициентов), которые определя-
ются индуктивно (см. замечание 36.8):

   L[x1 , x2 ] = L[x1 ][x2 ]; ...; L[x1 , ..., xn ] = L[x1 , ..., xn−1 ][xn ].   (46.28)